Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39341 / 29729
↖ ↑ ↗
← N 16.462427°
E 36.106567°		 ← 585.81 m → N 16.462427°
E 36.112061°		 →
↑
585.75 m
↓
↑
585.75 m
↓
N 16.457159°
E 36.106567°		 ← 585.83 m →
343 143 m²		 N 16.457159°
E 36.112061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600303649902344 y=0.453636169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600303649902344 × 216)
    floor (0.600303649902344 × 65536)
    floor (39341.5)     		tx = 39341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453636169433594 × 216)
    floor (0.453636169433594 × 65536)
    floor (29729.5)     		ty = 29729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39341 / 29729 ti = "16/39341/29729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39341/29729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39341 ÷ 216
    39341 ÷ 65536     		x = 0.600296020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29729 ÷ 216
    29729 ÷ 65536     		y = 0.453628540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600296020507812 × 2 - 1) × π
    0.200592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63017848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453628540039062 × 2 - 1) × π
    0.092742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.291360475890701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63017848} λ = 0.63017848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.291360475890701))-π/2
    2×atan(1.33824690275691)-π/2
    2×0.929059939039775-π/2
    1.85811987807955-1.57079632675     		φ = 0.28732355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63017848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.106567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28732355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.462427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39341 KachelY 29729 0.63017848 0.28732355 36.106567 16.462427
    Oben rechts KachelX + 1 39342 KachelY 29729 0.63027436 0.28732355 36.112061 16.462427
    Unten links KachelX 39341 KachelY + 1 29730 0.63017848 0.28723161 36.106567 16.457159
    Unten rechts KachelX + 1 39342 KachelY + 1 29730 0.63027436 0.28723161 36.112061 16.457159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28732355-0.28723161) × R
    9.19399999999571e-05 × 6371000     		dl = 585.749739999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28732355-0.28723161) × R
    9.19399999999571e-05 × 6371000     		dr = 585.749739999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63017848-0.63027436) × cos(0.28732355) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.959005779299183 × 6371000     		do = 585.810099613753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63017848-0.63027436) × cos(0.28723161) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.959031829801853 × 6371000     		du = 585.826012601864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28732355)-sin(0.28723161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959005779299183-0.959031829801853)×R²
    abs(0.63027436-0.63017848)×2.60505026702385e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.60505026702385e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.60505026702385e-05×40589641000000     		ar = 343142.774293867m²