Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3934 / 1667
↖ ↑ ↗
← N 72.355790°
W  7.119140°		 ← 1 481.12 m → N 72.355790°
W  7.075195°		 →
↑
1 481.70 m
↓
↑
1 481.70 m
↓
N 72.342464°
W  7.119140°		 ← 1 482.20 m →
2 195 386 m²		 N 72.342464°
W  7.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48028564453125 y=0.20355224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48028564453125 × 213)
    floor (0.48028564453125 × 8192)
    floor (3934.5)     		tx = 3934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20355224609375 × 213)
    floor (0.20355224609375 × 8192)
    floor (1667.5)     		ty = 1667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3934 / 1667 ti = "13/3934/1667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3934/1667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3934 ÷ 213
    3934 ÷ 8192     		x = 0.480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1667 ÷ 213
    1667 ÷ 8192     		y = 0.2034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2034912109375 × 2 - 1) × π
    0.593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86301966683386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12425244} λ = -0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86301966683386))-π/2
    2×atan(6.44316363287007)-π/2
    2×1.41682154161791-π/2
    2.83364308323581-1.57079632675     		φ = 1.26284676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26284676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.355790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3934 KachelY 1667 -0.12425244 1.26284676 -7.119140 72.355790
    Oben rechts KachelX + 1 3935 KachelY 1667 -0.12348545 1.26284676 -7.075195 72.355790
    Unten links KachelX 3934 KachelY + 1 1668 -0.12425244 1.26261419 -7.119140 72.342464
    Unten rechts KachelX + 1 3935 KachelY + 1 1668 -0.12348545 1.26261419 -7.075195 72.342464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26284676-1.26261419) × R
    0.000232569999999876 × 6371000     		dl = 1481.70346999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26284676-1.26261419) × R
    0.000232569999999876 × 6371000     		dr = 1481.70346999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12425244--0.12348545) × cos(1.26284676) × R
    0.000766990000000009 × 0.303105300162517 × 6371000     		do = 1481.12201540759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12425244--0.12348545) × cos(1.26261419) × R
    0.000766990000000009 × 0.303326921188956 × 6371000     		du = 1482.20496506621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26284676)-sin(1.26261419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303105300162517-0.303326921188956)×R²
    abs(-0.12348545--0.12425244)×0.000221621026439689×R²
    0.000766990000000009×0.000221621026439689×6371000²
    0.000766990000000009×0.000221621026439689×40589641000000     		ar = 2195385.94474835m²