Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39339 / 41981
↖ ↑ ↗
← S 45.077400°
E 36.095581°		 ← 431.35 m → S 45.077400°
E 36.101074°		 →
↑
431.32 m
↓
↑
431.32 m
↓
S 45.081278°
E 36.095581°		 ← 431.32 m →
186 044 m²		 S 45.081278°
E 36.101074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600273132324219 y=0.640586853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600273132324219 × 216)
    floor (0.600273132324219 × 65536)
    floor (39339.5)     		tx = 39339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640586853027344 × 216)
    floor (0.640586853027344 × 65536)
    floor (41981.5)     		ty = 41981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39339 / 41981 ti = "16/39339/41981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39339/41981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39339 ÷ 216
    39339 ÷ 65536     		x = 0.600265502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41981 ÷ 216
    41981 ÷ 65536     		y = 0.640579223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600265502929688 × 2 - 1) × π
    0.200531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62998673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640579223632812 × 2 - 1) × π
    -0.281158447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.883285312399155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62998673} λ = 0.62998673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883285312399155))-π/2
    2×atan(0.413422456223117)-π/2
    2×0.392023641545342-π/2
    0.784047283090684-1.57079632675     		φ = -0.78674904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62998673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.095581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78674904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.077400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39339 KachelY 41981 0.62998673 -0.78674904 36.095581 -45.077400
    Oben rechts KachelX + 1 39340 KachelY 41981 0.63008261 -0.78674904 36.101074 -45.077400
    Unten links KachelX 39339 KachelY + 1 41982 0.62998673 -0.78681674 36.095581 -45.081278
    Unten rechts KachelX + 1 39340 KachelY + 1 41982 0.63008261 -0.78681674 36.101074 -45.081278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78674904--0.78681674) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dl = 431.316700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78674904--0.78681674) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dr = 431.316700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62998673-0.63008261) × cos(-0.78674904) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.706150922282832 × 6371000     		do = 431.35333597955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62998673-0.63008261) × cos(-0.78681674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.706102984911246 × 6371000     		du = 431.32405336517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78674904)-sin(-0.78681674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706150922282832-0.706102984911246)×R²
    abs(0.63008261-0.62998673)×4.79373715862597e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79373715862597e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79373715862597e-05×40589641000000     		ar = 186043.582439688m²