Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39336 / 41960
↖ ↑ ↗
← S 44.995883°
E 36.079101°		 ← 431.97 m → S 44.995883°
E 36.084595°		 →
↑
431.95 m
↓
↑
431.95 m
↓
S 44.999767°
E 36.079101°		 ← 431.94 m →
186 584 m²		 S 44.999767°
E 36.084595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600227355957031 y=0.640266418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600227355957031 × 216)
    floor (0.600227355957031 × 65536)
    floor (39336.5)     		tx = 39336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640266418457031 × 216)
    floor (0.640266418457031 × 65536)
    floor (41960.5)     		ty = 41960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39336 / 41960 ti = "16/39336/41960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39336/41960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39336 ÷ 216
    39336 ÷ 65536     		x = 0.6002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41960 ÷ 216
    41960 ÷ 65536     		y = 0.6402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6002197265625 × 2 - 1) × π
    0.200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62969911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881271962615112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62969911} λ = 0.62969911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881271962615112))-π/2
    2×atan(0.41425565871865)-π/2
    2×0.392735012642418-π/2
    0.785470025284835-1.57079632675     		φ = -0.78532630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62969911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.079101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78532630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.995883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39336 KachelY 41960 0.62969911 -0.78532630 36.079101 -44.995883
    Oben rechts KachelX + 1 39337 KachelY 41960 0.62979499 -0.78532630 36.084595 -44.995883
    Unten links KachelX 39336 KachelY + 1 41961 0.62969911 -0.78539410 36.079101 -44.999767
    Unten rechts KachelX + 1 39337 KachelY + 1 41961 0.62979499 -0.78539410 36.084595 -44.999767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78532630--0.78539410) × R
    6.77999999999512e-05 × 6371000     		dl = 431.953799999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78532630--0.78539410) × R
    6.77999999999512e-05 × 6371000     		dr = 431.953799999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62969911-0.62979499) × cos(-0.78532630) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.707157594456286 × 6371000     		do = 431.968263167079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62969911-0.62979499) × cos(-0.78539410) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.7071096544366 × 6371000     		du = 431.938978935103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78532630)-sin(-0.78539410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707157594456286-0.7071096544366)×R²
    abs(0.62979499-0.62969911)×4.79400196855551e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79400196855551e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79400196855551e-05×40589641000000     		ar = 186584.00810812m²