Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39331 / 41982
↖ ↑ ↗
← S 45.081278°
E 36.051635°		 ← 431.32 m → S 45.081278°
E 36.057129°		 →
↑
431.32 m
↓
↑
431.32 m
↓
S 45.085157°
E 36.051635°		 ← 431.29 m →
186 031 m²		 S 45.085157°
E 36.057129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600151062011719 y=0.640602111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600151062011719 × 216)
    floor (0.600151062011719 × 65536)
    floor (39331.5)     		tx = 39331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640602111816406 × 216)
    floor (0.640602111816406 × 65536)
    floor (41982.5)     		ty = 41982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39331 / 41982 ti = "16/39331/41982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39331/41982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39331 ÷ 216
    39331 ÷ 65536     		x = 0.600143432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41982 ÷ 216
    41982 ÷ 65536     		y = 0.640594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600143432617188 × 2 - 1) × π
    0.200286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62921974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.28118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.883381186198395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62921974} λ = 0.62921974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883381186198395))-π/2
    2×atan(0.413382821741532)-π/2
    2×0.391989792008559-π/2
    0.783979584017117-1.57079632675     		φ = -0.78681674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62921974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.051635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78681674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.081278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39331 KachelY 41982 0.62921974 -0.78681674 36.051635 -45.081278
    Oben rechts KachelX + 1 39332 KachelY 41982 0.62931562 -0.78681674 36.057129 -45.081278
    Unten links KachelX 39331 KachelY + 1 41983 0.62921974 -0.78688444 36.051635 -45.085157
    Unten rechts KachelX + 1 39332 KachelY + 1 41983 0.62931562 -0.78688444 36.057129 -45.085157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78681674--0.78688444) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dl = 431.316700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78681674--0.78688444) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dr = 431.316700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62921974-0.62931562) × cos(-0.78681674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.706102984911246 × 6371000     		do = 431.32405336517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62921974-0.62931562) × cos(-0.78688444) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.706055044303385 × 6371000     		du = 431.294768773906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78681674)-sin(-0.78688444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706102984911246-0.706055044303385)×R²
    abs(0.62931562-0.62921974)×4.79406078609523e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79406078609523e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79406078609523e-05×40589641000000     		ar = 186030.951932496m²