Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3933 / 4945
↖ ↑ ↗
← S 34.921971°
W  7.163086°		 ← 4 006.59 m → S 34.921971°
W  7.119140°		 →
↑
4 005.70 m
↓
↑
4 005.70 m
↓
S 34.957995°
W  7.163086°		 ← 4 004.83 m →
16 045 701 m²		 S 34.957995°
W  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48016357421875 y=0.60369873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48016357421875 × 213)
    floor (0.48016357421875 × 8192)
    floor (3933.5)     		tx = 3933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60369873046875 × 213)
    floor (0.60369873046875 × 8192)
    floor (4945.5)     		ty = 4945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3933 / 4945 ti = "13/3933/4945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3933/4945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3933 ÷ 213
    3933 ÷ 8192     		x = 0.4801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4945 ÷ 213
    4945 ÷ 8192     		y = 0.6036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4801025390625 × 2 - 1) × π
    -0.039794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12501943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6036376953125 × 2 - 1) × π
    -0.207275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.651174844438843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12501943} λ = -0.12501943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651174844438843))-π/2
    2×atan(0.521432814321627)-π/2
    2×0.480646475471502-π/2
    0.961292950943004-1.57079632675     		φ = -0.60950338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12501943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.163086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60950338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.921971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3933 KachelY 4945 -0.12501943 -0.60950338 -7.163086 -34.921971
    Oben rechts KachelX + 1 3934 KachelY 4945 -0.12425244 -0.60950338 -7.119140 -34.921971
    Unten links KachelX 3933 KachelY + 1 4946 -0.12501943 -0.61013212 -7.163086 -34.957995
    Unten rechts KachelX + 1 3934 KachelY + 1 4946 -0.12425244 -0.61013212 -7.119140 -34.957995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60950338--0.61013212) × R
    0.000628739999999905 × 6371000     		dl = 4005.7025399994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60950338--0.61013212) × R
    0.000628739999999905 × 6371000     		dr = 4005.7025399994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12501943--0.12425244) × cos(-0.60950338) × R
    0.000766989999999981 × 0.819932414196343 × 6371000     		do = 4006.59424022383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12501943--0.12425244) × cos(-0.61013212) × R
    0.000766989999999981 × 0.819572323443109 × 6371000     		du = 4004.83465917436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60950338)-sin(-0.61013212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819932414196343-0.819572323443109)×R²
    abs(-0.12425244--0.12501943)×0.000360090753234621×R²
    0.000766989999999981×0.000360090753234621×6371000²
    0.000766989999999981×0.000360090753234621×40589641000000     		ar = 16045701.0742607m²