Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3932 / 4942
↖ ↑ ↗
← S 34.813803°
W  7.207031°		 ← 4 011.87 m → S 34.813803°
W  7.163086°		 →
↑
4 010.99 m
↓
↑
4 010.99 m
↓
S 34.849875°
W  7.207031°		 ← 4 010.11 m →
16 088 041 m²		 S 34.849875°
W  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48004150390625 y=0.60333251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48004150390625 × 213)
    floor (0.48004150390625 × 8192)
    floor (3932.5)     		tx = 3932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60333251953125 × 213)
    floor (0.60333251953125 × 8192)
    floor (4942.5)     		ty = 4942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3932 / 4942 ti = "13/3932/4942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3932/4942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3932 ÷ 213
    3932 ÷ 8192     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4942 ÷ 213
    4942 ÷ 8192     		y = 0.603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.20654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.64887387325708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64887387325708))-π/2
    2×atan(0.522633997614709)-π/2
    2×0.481590416892388-π/2
    0.963180833784775-1.57079632675     		φ = -0.60761549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60761549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.813803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3932 KachelY 4942 -0.12578642 -0.60761549 -7.207031 -34.813803
    Oben rechts KachelX + 1 3933 KachelY 4942 -0.12501943 -0.60761549 -7.163086 -34.813803
    Unten links KachelX 3932 KachelY + 1 4943 -0.12578642 -0.60824506 -7.207031 -34.849875
    Unten rechts KachelX + 1 3933 KachelY + 1 4943 -0.12501943 -0.60824506 -7.163086 -34.849875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60761549--0.60824506) × R
    0.000629569999999968 × 6371000     		dl = 4010.9904699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60761549--0.60824506) × R
    0.000629569999999968 × 6371000     		dr = 4010.9904699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12501943) × cos(-0.60761549) × R
    0.000766990000000023 × 0.821011694525983 × 6371000     		do = 4011.86813631287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12501943) × cos(-0.60824506) × R
    0.000766990000000023 × 0.820652103168299 × 6371000     		du = 4010.1109955564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60761549)-sin(-0.60824506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821011694525983-0.820652103168299)×R²
    abs(-0.12501943--0.12578642)×0.000359591357684264×R²
    0.000766990000000023×0.000359591357684264×6371000²
    0.000766990000000023×0.000359591357684264×40589641000000     		ar = 16088041.4556162m²