Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3932 / 1668
↖ ↑ ↗
← N 72.342464°
W  7.207031°		 ← 1 482.20 m → N 72.342464°
W  7.163086°		 →
↑
1 482.72 m
↓
↑
1 482.72 m
↓
N 72.329130°
W  7.207031°		 ← 1 483.29 m →
2 198 503 m²		 N 72.329130°
W  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48004150390625 y=0.20367431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48004150390625 × 213)
    floor (0.48004150390625 × 8192)
    floor (3932.5)     		tx = 3932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20367431640625 × 213)
    floor (0.20367431640625 × 8192)
    floor (1668.5)     		ty = 1668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3932 / 1668 ti = "13/3932/1668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3932/1668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3932 ÷ 213
    3932 ÷ 8192     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1668 ÷ 213
    1668 ÷ 8192     		y = 0.20361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20361328125 × 2 - 1) × π
    0.5927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86225267643994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86225267643994))-π/2
    2×atan(6.43822368294644)-π/2
    2×1.4167052597003-π/2
    2.8334105194006-1.57079632675     		φ = 1.26261419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26261419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.342464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3932 KachelY 1668 -0.12578642 1.26261419 -7.207031 72.342464
    Oben rechts KachelX + 1 3933 KachelY 1668 -0.12501943 1.26261419 -7.163086 72.342464
    Unten links KachelX 3932 KachelY + 1 1669 -0.12578642 1.26238146 -7.207031 72.329130
    Unten rechts KachelX + 1 3933 KachelY + 1 1669 -0.12501943 1.26238146 -7.163086 72.329130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26261419-1.26238146) × R
    0.000232730000000014 × 6371000     		dl = 1482.72283000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26261419-1.26238146) × R
    0.000232730000000014 × 6371000     		dr = 1482.72283000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12501943) × cos(1.26261419) × R
    0.000766990000000023 × 0.303326921188956 × 6371000     		do = 1482.20496506624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12501943) × cos(1.26238146) × R
    0.000766990000000023 × 0.303548678259359 × 6371000     		du = 1483.28857950277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26261419)-sin(1.26238146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303326921188956-0.303548678259359)×R²
    abs(-0.12501943--0.12578642)×0.000221757070402229×R²
    0.000766990000000023×0.000221757070402229×6371000²
    0.000766990000000023×0.000221757070402229×40589641000000     		ar = 2198502.50030004m²