Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39319 / 42005
↖ ↑ ↗
← S 45.170420°
E 35.985718°		 ← 430.61 m → S 45.170420°
E 35.991211°		 →
↑
430.62 m
↓
↑
430.62 m
↓
S 45.174292°
E 35.985718°		 ← 430.58 m →
185 419 m²		 S 45.174292°
E 35.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599967956542969 y=0.640953063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599967956542969 × 216)
    floor (0.599967956542969 × 65536)
    floor (39319.5)     		tx = 39319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640953063964844 × 216)
    floor (0.640953063964844 × 65536)
    floor (42005.5)     		ty = 42005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39319 / 42005 ti = "16/39319/42005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39319/42005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39319 ÷ 216
    39319 ÷ 65536     		x = 0.599960327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42005 ÷ 216
    42005 ÷ 65536     		y = 0.640945434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599960327148438 × 2 - 1) × π
    0.199920654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62806926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640945434570312 × 2 - 1) × π
    -0.281890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.885586283580917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62806926} λ = 0.62806926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885586283580917))-π/2
    2×atan(0.412472276652583)-π/2
    2×0.3912118868909-π/2
    0.782423773781799-1.57079632675     		φ = -0.78837255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62806926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.985718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78837255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.170420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39319 KachelY 42005 0.62806926 -0.78837255 35.985718 -45.170420
    Oben rechts KachelX + 1 39320 KachelY 42005 0.62816513 -0.78837255 35.991211 -45.170420
    Unten links KachelX 39319 KachelY + 1 42006 0.62806926 -0.78844014 35.985718 -45.174292
    Unten rechts KachelX + 1 39320 KachelY + 1 42006 0.62816513 -0.78844014 35.991211 -45.174292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78837255--0.78844014) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dl = 430.61589000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78837255--0.78844014) × R
    6.75900000000063e-05 × 6371000     		dr = 430.61589000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62806926-0.62816513) × cos(-0.78837255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705000447475249 × 6371000     		do = 430.6056511624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62806926-0.62816513) × cos(-0.78844014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704952510573311 × 6371000     		du = 430.576371888965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78837255)-sin(-0.78844014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705000447475249-0.704952510573311)×R²
    abs(0.62816513-0.62806926)×4.79369019380504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79369019380504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79369019380504e-05×40589641000000     		ar = 185419.331724678m²