Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39316 / 41403
↖ ↑ ↗
← S 42.791370°
E 35.969238°		 ← 448.22 m → S 42.791370°
E 35.974731°		 →
↑
448.26 m
↓
↑
448.26 m
↓
S 42.795401°
E 35.969238°		 ← 448.19 m →
200 912 m²		 S 42.795401°
E 35.974731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599922180175781 y=0.631767272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599922180175781 × 216)
    floor (0.599922180175781 × 65536)
    floor (39316.5)     		tx = 39316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631767272949219 × 216)
    floor (0.631767272949219 × 65536)
    floor (41403.5)     		ty = 41403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39316 / 41403 ti = "16/39316/41403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39316/41403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39316 ÷ 216
    39316 ÷ 65536     		x = 0.59991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41403 ÷ 216
    41403 ÷ 65536     		y = 0.631759643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59991455078125 × 2 - 1) × π
    0.1998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62778164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631759643554688 × 2 - 1) × π
    -0.263519287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.82787025643837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62778164} λ = 0.62778164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82787025643837))-π/2
    2×atan(0.436978949101895)-π/2
    2×0.411973016848175-π/2
    0.82394603369635-1.57079632675     		φ = -0.74685029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62778164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.969238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74685029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.791370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39316 KachelY 41403 0.62778164 -0.74685029 35.969238 -42.791370
    Oben rechts KachelX + 1 39317 KachelY 41403 0.62787751 -0.74685029 35.974731 -42.791370
    Unten links KachelX 39316 KachelY + 1 41404 0.62778164 -0.74692065 35.969238 -42.795401
    Unten rechts KachelX + 1 39317 KachelY + 1 41404 0.62787751 -0.74692065 35.974731 -42.795401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74685029--0.74692065) × R
    7.0359999999936e-05 × 6371000     		dl = 448.263559999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74685029--0.74692065) × R
    7.0359999999936e-05 × 6371000     		dr = 448.263559999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62778164-0.62787751) × cos(-0.74685029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733832200322734 × 6371000     		do = 448.215733189306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62778164-0.62787751) × cos(-0.74692065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73378440079302 × 6371000     		du = 448.186537821145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74685029)-sin(-0.74692065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733832200322734-0.73378440079302)×R²
    abs(0.62787751-0.62778164)×4.77995297137879e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77995297137879e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77995297137879e-05×40589641000000     		ar = 200912.236680312m²