Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39310 / 41402
↖ ↑ ↗
← S 42.787339°
E 35.936279°		 ← 448.29 m → S 42.787339°
E 35.941773°		 →
↑
448.20 m
↓
↑
448.20 m
↓
S 42.791370°
E 35.936279°		 ← 448.26 m →
200 918 m²		 S 42.791370°
E 35.941773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599830627441406 y=0.631752014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599830627441406 × 216)
    floor (0.599830627441406 × 65536)
    floor (39310.5)     		tx = 39310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631752014160156 × 216)
    floor (0.631752014160156 × 65536)
    floor (41402.5)     		ty = 41402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39310 / 41402 ti = "16/39310/41402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39310/41402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39310 ÷ 216
    39310 ÷ 65536     		x = 0.599822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41402 ÷ 216
    41402 ÷ 65536     		y = 0.631744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599822998046875 × 2 - 1) × π
    0.19964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62720639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.26348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.82777438263913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62720639} λ = 0.62720639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82777438263913))-π/2
    2×atan(0.437020845942306)-π/2
    2×0.412008195634155-π/2
    0.82401639126831-1.57079632675     		φ = -0.74677994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62720639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.936279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74677994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.787339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39310 KachelY 41402 0.62720639 -0.74677994 35.936279 -42.787339
    Oben rechts KachelX + 1 39311 KachelY 41402 0.62730227 -0.74677994 35.941773 -42.787339
    Unten links KachelX 39310 KachelY + 1 41403 0.62720639 -0.74685029 35.936279 -42.791370
    Unten rechts KachelX + 1 39311 KachelY + 1 41403 0.62730227 -0.74685029 35.941773 -42.791370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74677994--0.74685029) × R
    7.03499999999968e-05 × 6371000     		dl = 448.19984999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74677994--0.74685029) × R
    7.03499999999968e-05 × 6371000     		dr = 448.19984999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62720639-0.62730227) × cos(-0.74677994) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.733879989426798 × 6371000     		do = 448.291677683969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62720639-0.62730227) × cos(-0.74685029) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.733832200322734 × 6371000     		du = 448.262485639024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74677994)-sin(-0.74685029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733879989426798-0.733832200322734)×R²
    abs(0.62730227-0.62720639)×4.7789104064333e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7789104064333e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7789104064333e-05×40589641000000     		ar = 200917.720842158m²