Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3931 / 2463
↖ ↑ ↗
← N 58.101106°
W  7.250976°		 ← 2 582.13 m → N 58.101106°
W  7.207031°		 →
↑
2 582.99 m
↓
↑
2 582.99 m
↓
N 58.077876°
W  7.250976°		 ← 2 583.81 m →
6 671 801 m²		 N 58.077876°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47991943359375 y=0.30072021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47991943359375 × 213)
    floor (0.47991943359375 × 8192)
    floor (3931.5)     		tx = 3931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30072021484375 × 213)
    floor (0.30072021484375 × 8192)
    floor (2463.5)     		ty = 2463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3931 / 2463 ti = "13/3931/2463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3931/2463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3931 ÷ 213
    3931 ÷ 8192     		x = 0.4798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2463 ÷ 213
    2463 ÷ 8192     		y = 0.3006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3006591796875 × 2 - 1) × π
    0.398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25249531327283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12655341} λ = -0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25249531327283))-π/2
    2×atan(3.49906333207873)-π/2
    2×1.29242595837627-π/2
    2.58485191675254-1.57079632675     		φ = 1.01405559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01405559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.101106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3931 KachelY 2463 -0.12655341 1.01405559 -7.250976 58.101106
    Oben rechts KachelX + 1 3932 KachelY 2463 -0.12578642 1.01405559 -7.207031 58.101106
    Unten links KachelX 3931 KachelY + 1 2464 -0.12655341 1.01365016 -7.250976 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 3932 KachelY + 1 2464 -0.12578642 1.01365016 -7.207031 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01405559-1.01365016) × R
    0.000405429999999818 × 6371000     		dl = 2582.99452999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01405559-1.01365016) × R
    0.000405429999999818 × 6371000     		dr = 2582.99452999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12655341--0.12578642) × cos(1.01405559) × R
    0.000766989999999995 × 0.528421954062251 × 6371000     		do = 2582.13033281386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12655341--0.12578642) × cos(1.01365016) × R
    0.000766989999999995 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 2583.8120648571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01405559)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528421954062251-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.12578642--0.12655341)×0.000344159286308154×R²
    0.000766989999999995×0.000344159286308154×6371000²
    0.000766989999999995×0.000344159286308154×40589641000000     		ar = 6671800.56912433m²