Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3931 / 2417
↖ ↑ ↗
← N 59.153403°
W  7.250976°		 ← 2 505.51 m → N 59.153403°
W  7.207031°		 →
↑
2 506.35 m
↓
↑
2 506.35 m
↓
N 59.130863°
W  7.250976°		 ← 2 507.16 m →
6 281 748 m²		 N 59.130863°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47991943359375 y=0.29510498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47991943359375 × 213)
    floor (0.47991943359375 × 8192)
    floor (3931.5)     		tx = 3931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29510498046875 × 213)
    floor (0.29510498046875 × 8192)
    floor (2417.5)     		ty = 2417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3931 / 2417 ti = "13/3931/2417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3931/2417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3931 ÷ 213
    3931 ÷ 8192     		x = 0.4798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2417 ÷ 213
    2417 ÷ 8192     		y = 0.2950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2950439453125 × 2 - 1) × π
    0.409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28777687139319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12655341} λ = -0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28777687139319))-π/2
    2×atan(3.62471937455146)-π/2
    2×1.30160898724585-π/2
    2.6032179744917-1.57079632675     		φ = 1.03242165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03242165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.153403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3931 KachelY 2417 -0.12655341 1.03242165 -7.250976 59.153403
    Oben rechts KachelX + 1 3932 KachelY 2417 -0.12578642 1.03242165 -7.207031 59.153403
    Unten links KachelX 3931 KachelY + 1 2418 -0.12655341 1.03202825 -7.250976 59.130863
    Unten rechts KachelX + 1 3932 KachelY + 1 2418 -0.12578642 1.03202825 -7.207031 59.130863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03242165-1.03202825) × R
    0.000393400000000099 × 6371000     		dl = 2506.35140000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03242165-1.03202825) × R
    0.000393400000000099 × 6371000     		dr = 2506.35140000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12655341--0.12578642) × cos(1.03242165) × R
    0.000766989999999995 × 0.512741259353764 × 6371000     		do = 2505.5067233383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12655341--0.12578642) × cos(1.03202825) × R
    0.000766989999999995 × 0.513078970557303 × 6371000     		du = 2507.15694686835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03242165)-sin(1.03202825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512741259353764-0.513078970557303)×R²
    abs(-0.12578642--0.12655341)×0.000337711203538649×R²
    0.000766989999999995×0.000337711203538649×6371000²
    0.000766989999999995×0.000337711203538649×40589641000000     		ar = 6281748.38479052m²