Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3931 / 1660
↖ ↑ ↗
← N 72.448791°
W  7.250976°		 ← 1 473.56 m → N 72.448791°
W  7.207031°		 →
↑
1 474.06 m
↓
↑
1 474.06 m
↓
N 72.435535°
W  7.250976°		 ← 1 474.64 m →
2 172 910 m²		 N 72.435535°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47991943359375 y=0.20269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47991943359375 × 213)
    floor (0.47991943359375 × 8192)
    floor (3931.5)     		tx = 3931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20269775390625 × 213)
    floor (0.20269775390625 × 8192)
    floor (1660.5)     		ty = 1660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3931 / 1660 ti = "13/3931/1660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3931/1660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3931 ÷ 213
    3931 ÷ 8192     		x = 0.4798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1660 ÷ 213
    1660 ÷ 8192     		y = 0.20263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20263671875 × 2 - 1) × π
    0.5947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86838859959131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12655341} λ = -0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86838859959131))-π/2
    2×atan(6.47784957508611)-π/2
    2×1.41763313927243-π/2
    2.83526627854486-1.57079632675     		φ = 1.26446995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26446995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.448791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3931 KachelY 1660 -0.12655341 1.26446995 -7.250976 72.448791
    Oben rechts KachelX + 1 3932 KachelY 1660 -0.12578642 1.26446995 -7.207031 72.448791
    Unten links KachelX 3931 KachelY + 1 1661 -0.12655341 1.26423858 -7.250976 72.435535
    Unten rechts KachelX + 1 3932 KachelY + 1 1661 -0.12578642 1.26423858 -7.207031 72.435535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26446995-1.26423858) × R
    0.000231370000000064 × 6371000     		dl = 1474.05827000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26446995-1.26423858) × R
    0.000231370000000064 × 6371000     		dr = 1474.05827000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12655341--0.12578642) × cos(1.26446995) × R
    0.000766989999999995 × 0.30155807115291 × 6371000     		do = 1473.56149123403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12655341--0.12578642) × cos(1.26423858) × R
    0.000766989999999995 × 0.30177866229963 × 6371000     		du = 1474.63940839231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26446995)-sin(1.26423858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30155807115291-0.30177866229963)×R²
    abs(-0.12578642--0.12655341)×0.000220591146720572×R²
    0.000766989999999995×0.000220591146720572×6371000²
    0.000766989999999995×0.000220591146720572×40589641000000     		ar = 2172909.96855168m²