Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3930 / 2430
↖ ↑ ↗
← N 58.859224°
W  7.294922°		 ← 2 527.05 m → N 58.859224°
W  7.250976°		 →
↑
2 527.89 m
↓
↑
2 527.89 m
↓
N 58.836490°
W  7.294922°		 ← 2 528.71 m →
6 390 182 m²		 N 58.836490°
W  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47979736328125 y=0.29669189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47979736328125 × 213)
    floor (0.47979736328125 × 8192)
    floor (3930.5)     		tx = 3930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29669189453125 × 213)
    floor (0.29669189453125 × 8192)
    floor (2430.5)     		ty = 2430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3930 / 2430 ti = "13/3930/2430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3930/2430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3930 ÷ 213
    3930 ÷ 8192     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2430 ÷ 213
    2430 ÷ 8192     		y = 0.296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296630859375 × 2 - 1) × π
    0.40673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27780599627222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27780599627222))-π/2
    2×atan(3.58875733476322)-π/2
    2×1.29904178641985-π/2
    2.5980835728397-1.57079632675     		φ = 1.02728725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02728725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.859224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3930 KachelY 2430 -0.12732041 1.02728725 -7.294922 58.859224
    Oben rechts KachelX + 1 3931 KachelY 2430 -0.12655341 1.02728725 -7.250976 58.859224
    Unten links KachelX 3930 KachelY + 1 2431 -0.12732041 1.02689047 -7.294922 58.836490
    Unten rechts KachelX + 1 3931 KachelY + 1 2431 -0.12655341 1.02689047 -7.250976 58.836490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02728725-1.02689047) × R
    0.000396779999999985 × 6371000     		dl = 2527.88537999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02728725-1.02689047) × R
    0.000396779999999985 × 6371000     		dr = 2527.88537999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12655341) × cos(1.02728725) × R
    0.00076699999999999 × 0.517142585672466 × 6371000     		do = 2527.04672201585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12655341) × cos(1.02689047) × R
    0.00076699999999999 × 0.517482148664583 × 6371000     		du = 2528.70601593192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02728725)-sin(1.02689047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517142585672466-0.517482148664583)×R²
    abs(-0.12655341--0.12732041)×0.000339562992116793×R²
    0.00076699999999999×0.000339562992116793×6371000²
    0.00076699999999999×0.000339562992116793×40589641000000     		ar = 6390181.79941302m²