Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39295 / 32897
↖ ↑ ↗
← N 66.371654°
W 72.073059°		 ← 122.39 m → N 66.371654°
W 72.070313°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
N 66.370553°
W 72.073059°		 ← 122.40 m →
14 987 m²		 N 66.370553°
W 72.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.299800872802734 y=0.250988006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.299800872802734 × 217)
    floor (0.299800872802734 × 131072)
    floor (39295.5)     		tx = 39295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250988006591797 × 217)
    floor (0.250988006591797 × 131072)
    floor (32897.5)     		ty = 32897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39295 / 32897 ti = "17/39295/32897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39295/32897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39295 ÷ 217
    39295 ÷ 131072     		x = 0.299797058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32897 ÷ 217
    32897 ÷ 131072     		y = 0.250984191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.299797058105469 × 2 - 1) × π
    -0.400405883789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.25791218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250984191894531 × 2 - 1) × π
    0.498031616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.56461246669901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.25791218} λ = -1.25791218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56461246669901))-π/2
    2×atan(4.78082184917941)-π/2
    2×1.36460011119518-π/2
    2.72920022239036-1.57079632675     		φ = 1.15840390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.25791218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.073059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15840390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.371654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39295 KachelY 32897 -1.25791218 1.15840390 -72.073059 66.371654
    Oben rechts KachelX + 1 39296 KachelY 32897 -1.25786425 1.15840390 -72.070313 66.371654
    Unten links KachelX 39295 KachelY + 1 32898 -1.25791218 1.15838468 -72.073059 66.370553
    Unten rechts KachelX + 1 39296 KachelY + 1 32898 -1.25786425 1.15838468 -72.070313 66.370553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15840390-1.15838468) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dl = 122.450619999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15840390-1.15838468) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dr = 122.450619999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.25791218--1.25786425) × cos(1.15840390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400802329561231 × 6371000     		do = 122.389812983621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.25791218--1.25786425) × cos(1.15838468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400819938169955 × 6371000     		du = 122.395189984127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15840390)-sin(1.15838468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400802329561231-0.400819938169955)×R²
    abs(-1.25786425--1.25791218)×1.76086087242955e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76086087242955e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76086087242955e-05×40589641000000     		ar = 14987.0376905158m²