Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39291 / 30615
↖ ↑ ↗
← N 11.743680°
E 35.831909°		 ← 598.07 m → N 11.743680°
E 35.837403°		 →
↑
597.98 m
↓
↑
597.98 m
↓
N 11.738303°
E 35.831909°		 ← 598.08 m →
357 636 m²		 N 11.738303°
E 35.837403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599540710449219 y=0.467155456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599540710449219 × 216)
    floor (0.599540710449219 × 65536)
    floor (39291.5)     		tx = 39291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467155456542969 × 216)
    floor (0.467155456542969 × 65536)
    floor (30615.5)     		ty = 30615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39291 / 30615 ti = "16/39291/30615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39291/30615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39291 ÷ 216
    39291 ÷ 65536     		x = 0.599533081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30615 ÷ 216
    30615 ÷ 65536     		y = 0.467147827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599533081054688 × 2 - 1) × π
    0.199066162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62538479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467147827148438 × 2 - 1) × π
    0.065704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.206416289763962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62538479} λ = 0.62538479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206416289763962))-π/2
    2×atan(1.22926482786107)-π/2
    2×0.887881109821471-π/2
    1.77576221964294-1.57079632675     		φ = 0.20496589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62538479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.831909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20496589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.743680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39291 KachelY 30615 0.62538479 0.20496589 35.831909 11.743680
    Oben rechts KachelX + 1 39292 KachelY 30615 0.62548067 0.20496589 35.837403 11.743680
    Unten links KachelX 39291 KachelY + 1 30616 0.62538479 0.20487203 35.831909 11.738303
    Unten rechts KachelX + 1 39292 KachelY + 1 30616 0.62548067 0.20487203 35.837403 11.738303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20496589-0.20487203) × R
    9.38600000000012e-05 × 6371000     		dl = 597.982060000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20496589-0.20487203) × R
    9.38600000000012e-05 × 6371000     		dr = 597.982060000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62538479-0.62548067) × cos(0.20496589) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.979067927625763 × 6371000     		do = 598.065092610338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62538479-0.62548067) × cos(0.20487203) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.979087026992179 × 6371000     		du = 598.07675948658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20496589)-sin(0.20487203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979067927625763-0.979087026992179)×R²
    abs(0.62548067-0.62538479)×1.90993664153094e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.90993664153094e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.90993664153094e-05×40589641000000     		ar = 357635.684647136m²