Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39291 / 29989
↖ ↑ ↗
← N 15.088036°
E 35.831909°		 ← 589.79 m → N 15.088036°
E 35.837403°		 →
↑
589.76 m
↓
↑
589.76 m
↓
N 15.082732°
E 35.831909°		 ← 589.81 m →
347 843 m²		 N 15.082732°
E 35.837403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599540710449219 y=0.457603454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599540710449219 × 216)
    floor (0.599540710449219 × 65536)
    floor (39291.5)     		tx = 39291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457603454589844 × 216)
    floor (0.457603454589844 × 65536)
    floor (29989.5)     		ty = 29989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39291 / 29989 ti = "16/39291/29989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39291/29989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39291 ÷ 216
    39291 ÷ 65536     		x = 0.599533081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29989 ÷ 216
    29989 ÷ 65536     		y = 0.457595825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599533081054688 × 2 - 1) × π
    0.199066162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62538479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457595825195312 × 2 - 1) × π
    0.084808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266433288088272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62538479} λ = 0.62538479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266433288088272))-π/2
    2×atan(1.30530050733844)-π/2
    2×0.917066112274701-π/2
    1.8341322245494-1.57079632675     		φ = 0.26333590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62538479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.831909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26333590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.088036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39291 KachelY 29989 0.62538479 0.26333590 35.831909 15.088036
    Oben rechts KachelX + 1 39292 KachelY 29989 0.62548067 0.26333590 35.837403 15.088036
    Unten links KachelX 39291 KachelY + 1 29990 0.62538479 0.26324333 35.831909 15.082732
    Unten rechts KachelX + 1 39292 KachelY + 1 29990 0.62548067 0.26324333 35.837403 15.082732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26333590-0.26324333) × R
    9.2570000000014e-05 × 6371000     		dl = 589.763470000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26333590-0.26324333) × R
    9.2570000000014e-05 × 6371000     		dr = 589.763470000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62538479-0.62548067) × cos(0.26333590) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965527007612629 × 6371000     		do = 589.793601579759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62538479-0.62548067) × cos(0.26324333) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965551099714761 × 6371000     		du = 589.808318276003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26333590)-sin(0.26324333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965527007612629-0.965551099714761)×R²
    abs(0.62548067-0.62538479)×2.40921021319451e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.40921021319451e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.40921021319451e-05×40589641000000     		ar = 347843.060985035m²