Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3929 / 2465
↖ ↑ ↗
← N 58.054632°
W  7.338867°		 ← 2 585.49 m → N 58.054632°
W  7.294922°		 →
↑
2 586.31 m
↓
↑
2 586.31 m
↓
N 58.031373°
W  7.338867°		 ← 2 587.18 m →
6 689 060 m²		 N 58.031373°
W  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47967529296875 y=0.30096435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47967529296875 × 213)
    floor (0.47967529296875 × 8192)
    floor (3929.5)     		tx = 3929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30096435546875 × 213)
    floor (0.30096435546875 × 8192)
    floor (2465.5)     		ty = 2465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3929 / 2465 ti = "13/3929/2465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3929/2465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3929 ÷ 213
    3929 ÷ 8192     		x = 0.4796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2465 ÷ 213
    2465 ÷ 8192     		y = 0.3009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3009033203125 × 2 - 1) × π
    0.398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25096133248499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12808740} λ = -0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25096133248499))-π/2
    2×atan(3.49369995086546)-π/2
    2×1.2920203998314-π/2
    2.5840407996628-1.57079632675     		φ = 1.01324447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01324447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.054632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3929 KachelY 2465 -0.12808740 1.01324447 -7.338867 58.054632
    Oben rechts KachelX + 1 3930 KachelY 2465 -0.12732041 1.01324447 -7.294922 58.054632
    Unten links KachelX 3929 KachelY + 1 2466 -0.12808740 1.01283852 -7.338867 58.031373
    Unten rechts KachelX + 1 3930 KachelY + 1 2466 -0.12732041 1.01283852 -7.294922 58.031373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01324447-1.01283852) × R
    0.000405949999999988 × 6371000     		dl = 2586.30744999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01324447-1.01283852) × R
    0.000405949999999988 × 6371000     		dr = 2586.30744999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12808740--0.12732041) × cos(1.01324447) × R
    0.000766989999999995 × 0.529110406343535 × 6371000     		do = 2585.49445026684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12808740--0.12732041) × cos(1.01283852) × R
    0.000766989999999995 × 0.529454832823138 × 6371000     		du = 2587.17748794832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01324447)-sin(1.01283852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529110406343535-0.529454832823138)×R²
    abs(-0.12732041--0.12808740)×0.000344426479602533×R²
    0.000766989999999995×0.000344426479602533×6371000²
    0.000766989999999995×0.000344426479602533×40589641000000     		ar = 6689060.0769666m²