Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3929 / 2429
↖ ↑ ↗
← N 58.881942°
W  7.338867°		 ← 2 525.36 m → N 58.881942°
W  7.294922°		 →
↑
2 526.17 m
↓
↑
2 526.17 m
↓
N 58.859224°
W  7.338867°		 ← 2 527.01 m →
6 381 559 m²		 N 58.859224°
W  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47967529296875 y=0.29656982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47967529296875 × 213)
    floor (0.47967529296875 × 8192)
    floor (3929.5)     		tx = 3929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29656982421875 × 213)
    floor (0.29656982421875 × 8192)
    floor (2429.5)     		ty = 2429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3929 / 2429 ti = "13/3929/2429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3929/2429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3929 ÷ 213
    3929 ÷ 8192     		x = 0.4796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2429 ÷ 213
    2429 ÷ 8192     		y = 0.2965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2965087890625 × 2 - 1) × π
    0.406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27857298666614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12808740} λ = -0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27857298666614))-π/2
    2×atan(3.59151093302181)-π/2
    2×1.29924004303217-π/2
    2.59848008606433-1.57079632675     		φ = 1.02768376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02768376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.881942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3929 KachelY 2429 -0.12808740 1.02768376 -7.338867 58.881942
    Oben rechts KachelX + 1 3930 KachelY 2429 -0.12732041 1.02768376 -7.294922 58.881942
    Unten links KachelX 3929 KachelY + 1 2430 -0.12808740 1.02728725 -7.338867 58.859224
    Unten rechts KachelX + 1 3930 KachelY + 1 2430 -0.12732041 1.02728725 -7.294922 58.859224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02768376-1.02728725) × R
    0.00039650999999985 × 6371000     		dl = 2526.16520999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02768376-1.02728725) × R
    0.00039650999999985 × 6371000     		dr = 2526.16520999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12808740--0.12732041) × cos(1.02768376) × R
    0.000766989999999995 × 0.516803172412499 × 6371000     		do = 2525.35523424437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12808740--0.12732041) × cos(1.02728725) × R
    0.000766989999999995 × 0.517142585672466 × 6371000     		du = 2527.01377486174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02768376)-sin(1.02728725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516803172412499-0.517142585672466)×R²
    abs(-0.12732041--0.12808740)×0.00033941325996667×R²
    0.000766989999999995×0.00033941325996667×6371000²
    0.000766989999999995×0.00033941325996667×40589641000000     		ar = 6381559.49304992m²