Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39288 / 30776
↖ ↑ ↗
← N 10.876465°
E 35.815430°		 ← 599.82 m → N 10.876465°
E 35.820923°		 →
↑
599.89 m
↓
↑
599.89 m
↓
N 10.871070°
E 35.815430°		 ← 599.83 m →
359 829 m²		 N 10.871070°
E 35.820923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599494934082031 y=0.469612121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599494934082031 × 216)
    floor (0.599494934082031 × 65536)
    floor (39288.5)     		tx = 39288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469612121582031 × 216)
    floor (0.469612121582031 × 65536)
    floor (30776.5)     		ty = 30776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39288 / 30776 ti = "16/39288/30776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39288/30776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39288 ÷ 216
    39288 ÷ 65536     		x = 0.5994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30776 ÷ 216
    30776 ÷ 65536     		y = 0.4696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5994873046875 × 2 - 1) × π
    0.198974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62509717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4696044921875 × 2 - 1) × π
    0.060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.190980608086304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62509717} λ = 0.62509717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190980608086304))-π/2
    2×atan(1.21043597918366)-π/2
    2×0.880313225963494-π/2
    1.76062645192699-1.57079632675     		φ = 0.18983013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62509717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.815430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18983013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.876465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39288 KachelY 30776 0.62509717 0.18983013 35.815430 10.876465
    Oben rechts KachelX + 1 39289 KachelY 30776 0.62519304 0.18983013 35.820923 10.876465
    Unten links KachelX 39288 KachelY + 1 30777 0.62509717 0.18973597 35.815430 10.871070
    Unten rechts KachelX + 1 39289 KachelY + 1 30777 0.62519304 0.18973597 35.820923 10.871070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18983013-0.18973597) × R
    9.41600000000098e-05 × 6371000     		dl = 599.893360000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18983013-0.18973597) × R
    9.41600000000098e-05 × 6371000     		dr = 599.893360000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62509717-0.62519304) × cos(0.18983013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982036302409338 × 6371000     		do = 599.815763207632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62509717-0.62519304) × cos(0.18973597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98205406530207 × 6371000     		du = 599.826612565273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18983013)-sin(0.18973597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982036302409338-0.98205406530207)×R²
    abs(0.62519304-0.62509717)×1.77628927318096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77628927318096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77628927318096e-05×40589641000000     		ar = 359828.748066294m²