Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39286 / 30775
↖ ↑ ↗
← N 10.881860°
E 35.804443°		 ← 599.87 m → N 10.881860°
E 35.809937°		 →
↑
599.83 m
↓
↑
599.83 m
↓
N 10.876465°
E 35.804443°		 ← 599.88 m →
359 822 m²		 N 10.876465°
E 35.809937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599464416503906 y=0.469596862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599464416503906 × 216)
    floor (0.599464416503906 × 65536)
    floor (39286.5)     		tx = 39286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469596862792969 × 216)
    floor (0.469596862792969 × 65536)
    floor (30775.5)     		ty = 30775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39286 / 30775 ti = "16/39286/30775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39286/30775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39286 ÷ 216
    39286 ÷ 65536     		x = 0.599456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30775 ÷ 216
    30775 ÷ 65536     		y = 0.469589233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599456787109375 × 2 - 1) × π
    0.19891357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62490542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469589233398438 × 2 - 1) × π
    0.060821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.191076481885544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62490542} λ = 0.62490542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.191076481885544))-π/2
    2×atan(1.21055203384294)-π/2
    2×0.880360301313308-π/2
    1.76072060262662-1.57079632675     		φ = 0.18992428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62490542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.804443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18992428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.881860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39286 KachelY 30775 0.62490542 0.18992428 35.804443 10.881860
    Oben rechts KachelX + 1 39287 KachelY 30775 0.62500130 0.18992428 35.809937 10.881860
    Unten links KachelX 39286 KachelY + 1 30776 0.62490542 0.18983013 35.804443 10.876465
    Unten rechts KachelX + 1 39287 KachelY + 1 30776 0.62500130 0.18983013 35.809937 10.876465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18992428-0.18983013) × R
    9.41499999999873e-05 × 6371000     		dl = 599.829649999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18992428-0.18983013) × R
    9.41499999999873e-05 × 6371000     		dr = 599.829649999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62490542-0.62500130) × cos(0.18992428) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.982018532697615 × 6371000     		do = 599.867474085373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62490542-0.62500130) × cos(0.18983013) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.982036302409338 × 6371000     		du = 599.878328740079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18992428)-sin(0.18983013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982018532697615-0.982036302409338)×R²
    abs(0.62500130-0.62490542)×1.77697117238473e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.77697117238473e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.77697117238473e-05×40589641000000     		ar = 359821.552764524m²