Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39286 / 30032
↖ ↑ ↗
← N 14.859851°
E 35.804443°		 ← 590.42 m → N 14.859851°
E 35.809937°		 →
↑
590.40 m
↓
↑
590.40 m
↓
N 14.854541°
E 35.804443°		 ← 590.44 m →
348 590 m²		 N 14.854541°
E 35.809937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599464416503906 y=0.458259582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599464416503906 × 216)
    floor (0.599464416503906 × 65536)
    floor (39286.5)     		tx = 39286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458259582519531 × 216)
    floor (0.458259582519531 × 65536)
    floor (30032.5)     		ty = 30032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39286 / 30032 ti = "16/39286/30032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39286/30032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39286 ÷ 216
    39286 ÷ 65536     		x = 0.599456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30032 ÷ 216
    30032 ÷ 65536     		y = 0.458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599456787109375 × 2 - 1) × π
    0.19891357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62490542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    0.08349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.262310714720947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62490542} λ = 0.62490542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262310714720947))-π/2
    2×atan(1.29993038719338)-π/2
    2×0.915074821315968-π/2
    1.83014964263194-1.57079632675     		φ = 0.25935332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62490542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.804443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25935332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.859851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39286 KachelY 30032 0.62490542 0.25935332 35.804443 14.859851
    Oben rechts KachelX + 1 39287 KachelY 30032 0.62500130 0.25935332 35.809937 14.859851
    Unten links KachelX 39286 KachelY + 1 30033 0.62490542 0.25926065 35.804443 14.854541
    Unten rechts KachelX + 1 39287 KachelY + 1 30033 0.62500130 0.25926065 35.809937 14.854541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25935332-0.25926065) × R
    9.26700000000169e-05 × 6371000     		dl = 590.400570000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25935332-0.25926065) × R
    9.26700000000169e-05 × 6371000     		dr = 590.400570000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62490542-0.62500130) × cos(0.25935332) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.966556024904491 × 6371000     		do = 590.422178315438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62490542-0.62500130) × cos(0.25926065) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.966579786490303 × 6371000     		du = 590.436693115299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25935332)-sin(0.25926065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966556024904491-0.966579786490303)×R²
    abs(0.62500130-0.62490542)×2.37615858120765e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.37615858120765e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.37615858120765e-05×40589641000000     		ar = 348589.875640486m²