Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39281 / 41973
↖ ↑ ↗
← S 45.046360°
E 35.776977°		 ← 431.59 m → S 45.046360°
E 35.782471°		 →
↑
431.51 m
↓
↑
431.51 m
↓
S 45.050240°
E 35.776977°		 ← 431.56 m →
186 227 m²		 S 45.050240°
E 35.782471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599388122558594 y=0.640464782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599388122558594 × 216)
    floor (0.599388122558594 × 65536)
    floor (39281.5)     		tx = 39281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640464782714844 × 216)
    floor (0.640464782714844 × 65536)
    floor (41973.5)     		ty = 41973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39281 / 41973 ti = "16/39281/41973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39281/41973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39281 ÷ 216
    39281 ÷ 65536     		x = 0.599380493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41973 ÷ 216
    41973 ÷ 65536     		y = 0.640457153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599380493164062 × 2 - 1) × π
    0.198760986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62442605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640457153320312 × 2 - 1) × π
    -0.280914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.882518322005234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62442605} λ = 0.62442605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882518322005234))-π/2
    2×atan(0.413739668909662)-π/2
    2×0.39229452056544-π/2
    0.78458904113088-1.57079632675     		φ = -0.78620729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62442605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.776977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78620729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.046360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39281 KachelY 41973 0.62442605 -0.78620729 35.776977 -45.046360
    Oben rechts KachelX + 1 39282 KachelY 41973 0.62452193 -0.78620729 35.782471 -45.046360
    Unten links KachelX 39281 KachelY + 1 41974 0.62442605 -0.78627502 35.776977 -45.050240
    Unten rechts KachelX + 1 39282 KachelY + 1 41974 0.62452193 -0.78627502 35.782471 -45.050240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78620729--0.78627502) × R
    6.77300000000436e-05 × 6371000     		dl = 431.507830000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78620729--0.78627502) × R
    6.77300000000436e-05 × 6371000     		dr = 431.507830000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62442605-0.62452193) × cos(-0.78620729) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.706534410875081 × 6371000     		do = 431.587590554188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62442605-0.62452193) × cos(-0.78627502) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.70648647817698 × 6371000     		du = 431.558310794612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78620729)-sin(-0.78627502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706534410875081-0.70648647817698)×R²
    abs(0.62452193-0.62442605)×4.79326981012163e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79326981012163e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79326981012163e-05×40589641000000     		ar = 186227.107503512m²