Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39281 / 41971
↖ ↑ ↗
← S 45.038597°
E 35.776977°		 ← 431.65 m → S 45.038597°
E 35.782471°		 →
↑
431.64 m
↓
↑
431.64 m
↓
S 45.042478°
E 35.776977°		 ← 431.62 m →
186 307 m²		 S 45.042478°
E 35.782471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599388122558594 y=0.640434265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599388122558594 × 216)
    floor (0.599388122558594 × 65536)
    floor (39281.5)     		tx = 39281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640434265136719 × 216)
    floor (0.640434265136719 × 65536)
    floor (41971.5)     		ty = 41971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39281 / 41971 ti = "16/39281/41971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39281/41971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39281 ÷ 216
    39281 ÷ 65536     		x = 0.599380493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41971 ÷ 216
    41971 ÷ 65536     		y = 0.640426635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599380493164062 × 2 - 1) × π
    0.198760986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62442605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640426635742188 × 2 - 1) × π
    -0.280853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.882326574406754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62442605} λ = 0.62442605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882326574406754))-π/2
    2×atan(0.41381901010407)-π/2
    2×0.392362263299886-π/2
    0.784724526599772-1.57079632675     		φ = -0.78607180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62442605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.776977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78607180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.038597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39281 KachelY 41971 0.62442605 -0.78607180 35.776977 -45.038597
    Oben rechts KachelX + 1 39282 KachelY 41971 0.62452193 -0.78607180 35.782471 -45.038597
    Unten links KachelX 39281 KachelY + 1 41972 0.62442605 -0.78613955 35.776977 -45.042478
    Unten rechts KachelX + 1 39282 KachelY + 1 41972 0.62452193 -0.78613955 35.782471 -45.042478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78607180--0.78613955) × R
    6.77500000000331e-05 × 6371000     		dl = 431.635250000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78607180--0.78613955) × R
    6.77500000000331e-05 × 6371000     		dr = 431.635250000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62442605-0.62452193) × cos(-0.78607180) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.706630287775184 × 6371000     		do = 431.646157100514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62442605-0.62452193) × cos(-0.78613955) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.706582347408368 × 6371000     		du = 431.616872656492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78607180)-sin(-0.78613955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706630287775184-0.706582347408368)×R²
    abs(0.62452193-0.62442605)×4.79403668166567e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79403668166567e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79403668166567e-05×40589641000000     		ar = 186307.376903823m²