Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3928 / 4759
↖ ↑ ↗
← S 27.955591°
W  7.382813°		 ← 4 316.29 m → S 27.955591°
W  7.338867°		 →
↑
4 315.52 m
↓
↑
4 315.52 m
↓
S 27.994402°
W  7.382813°		 ← 4 314.74 m →
18 623 723 m²		 S 27.994402°
W  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47955322265625 y=0.58099365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47955322265625 × 213)
    floor (0.47955322265625 × 8192)
    floor (3928.5)     		tx = 3928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58099365234375 × 213)
    floor (0.58099365234375 × 8192)
    floor (4759.5)     		ty = 4759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3928 / 4759 ti = "13/3928/4759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3928/4759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3928 ÷ 213
    3928 ÷ 8192     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4759 ÷ 213
    4759 ÷ 8192     		y = 0.5809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5809326171875 × 2 - 1) × π
    -0.161865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.508514631169556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508514631169556))-π/2
    2×atan(0.601388198998837)-π/2
    2×0.541439609717907-π/2
    1.08287921943581-1.57079632675     		φ = -0.48791711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48791711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.955591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3928 KachelY 4759 -0.12885439 -0.48791711 -7.382813 -27.955591
    Oben rechts KachelX + 1 3929 KachelY 4759 -0.12808740 -0.48791711 -7.338867 -27.955591
    Unten links KachelX 3928 KachelY + 1 4760 -0.12885439 -0.48859448 -7.382813 -27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 3929 KachelY + 1 4760 -0.12808740 -0.48859448 -7.338867 -27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48791711--0.48859448) × R
    0.00067737000000001 × 6371000     		dl = 4315.52427000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48791711--0.48859448) × R
    0.00067737000000001 × 6371000     		dr = 4315.52427000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12808740) × cos(-0.48791711) × R
    0.000766990000000023 × 0.883311205888223 × 6371000     		do = 4316.29428055474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12808740) × cos(-0.48859448) × R
    0.000766990000000023 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 4314.74162215616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48791711)-sin(-0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883311205888223-0.882993460972506)×R²
    abs(-0.12808740--0.12885439)×0.000317744915716789×R²
    0.000766990000000023×0.000317744915716789×6371000²
    0.000766990000000023×0.000317744915716789×40589641000000     		ar = 18623723.1687892m²