Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39279 / 41979
↖ ↑ ↗
← S 45.069641°
E 35.765991°		 ← 431.37 m → S 45.069641°
E 35.771484°		 →
↑
431.38 m
↓
↑
431.38 m
↓
S 45.073521°
E 35.765991°		 ← 431.34 m →
186 077 m²		 S 45.073521°
E 35.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599357604980469 y=0.640556335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599357604980469 × 216)
    floor (0.599357604980469 × 65536)
    floor (39279.5)     		tx = 39279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640556335449219 × 216)
    floor (0.640556335449219 × 65536)
    floor (41979.5)     		ty = 41979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39279 / 41979 ti = "16/39279/41979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39279/41979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39279 ÷ 216
    39279 ÷ 65536     		x = 0.599349975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41979 ÷ 216
    41979 ÷ 65536     		y = 0.640548706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599349975585938 × 2 - 1) × π
    0.198699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62423431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640548706054688 × 2 - 1) × π
    -0.281097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.883093564800674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62423431} λ = 0.62423431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883093564800674))-π/2
    2×atan(0.413501736586922)-π/2
    2×0.392091347512724-π/2
    0.784182695025448-1.57079632675     		φ = -0.78661363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62423431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.765991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78661363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.069641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39279 KachelY 41979 0.62423431 -0.78661363 35.765991 -45.069641
    Oben rechts KachelX + 1 39280 KachelY 41979 0.62433018 -0.78661363 35.771484 -45.069641
    Unten links KachelX 39279 KachelY + 1 41980 0.62423431 -0.78668134 35.765991 -45.073521
    Unten rechts KachelX + 1 39280 KachelY + 1 41980 0.62433018 -0.78668134 35.771484 -45.073521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78661363--0.78668134) × R
    6.77100000000541e-05 × 6371000     		dl = 431.380410000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78661363--0.78668134) × R
    6.77100000000541e-05 × 6371000     		dr = 431.380410000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62423431-0.62433018) × cos(-0.78661363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706246794395959 × 6371000     		do = 431.366904618747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62423431-0.62433018) × cos(-0.78668134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706198856417924 × 6371000     		du = 431.337624688045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78661363)-sin(-0.78668134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706246794395959-0.706198856417924)×R²
    abs(0.62433018-0.62423431)×4.79379780349287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79379780349287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79379780349287e-05×40589641000000     		ar = 186076.916852006m²