Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39278 / 41977
↖ ↑ ↗
← S 45.061882°
E 35.760498°		 ← 431.47 m → S 45.061882°
E 35.765991°		 →
↑
431.44 m
↓
↑
431.44 m
↓
S 45.065762°
E 35.760498°		 ← 431.44 m →
186 149 m²		 S 45.065762°
E 35.765991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599342346191406 y=0.640525817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599342346191406 × 216)
    floor (0.599342346191406 × 65536)
    floor (39278.5)     		tx = 39278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640525817871094 × 216)
    floor (0.640525817871094 × 65536)
    floor (41977.5)     		ty = 41977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39278 / 41977 ti = "16/39278/41977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39278/41977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39278 ÷ 216
    39278 ÷ 65536     		x = 0.599334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41977 ÷ 216
    41977 ÷ 65536     		y = 0.640518188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599334716796875 × 2 - 1) × π
    0.19866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62413843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640518188476562 × 2 - 1) × π
    -0.281036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.882901817202194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62413843} λ = 0.62413843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882901817202194))-π/2
    2×atan(0.413581032154005)-π/2
    2×0.392159062671864-π/2
    0.784318125343727-1.57079632675     		φ = -0.78647820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62413843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.760498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78647820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.061882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39278 KachelY 41977 0.62413843 -0.78647820 35.760498 -45.061882
    Oben rechts KachelX + 1 39279 KachelY 41977 0.62423431 -0.78647820 35.765991 -45.061882
    Unten links KachelX 39278 KachelY + 1 41978 0.62413843 -0.78654592 35.760498 -45.065762
    Unten rechts KachelX + 1 39279 KachelY + 1 41978 0.62423431 -0.78654592 35.765991 -45.065762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78647820--0.78654592) × R
    6.77199999999933e-05 × 6371000     		dl = 431.444119999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78647820--0.78654592) × R
    6.77199999999933e-05 × 6371000     		dr = 431.444119999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62413843-0.62423431) × cos(-0.78647820) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.70634266771684 × 6371000     		do = 431.470463961697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62413843-0.62423431) × cos(-0.78654592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.706294729136104 × 6371000     		du = 431.441180608705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78647820)-sin(-0.78654592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70634266771684-0.706294729136104)×R²
    abs(0.62423431-0.62413843)×4.79385807354848e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79385807354848e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79385807354848e-05×40589641000000     		ar = 186149.077635547m²