Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39273 / 41993
↖ ↑ ↗
← S 45.123929°
E 35.733032°		 ← 431 m → S 45.123929°
E 35.738526°		 →
↑
430.93 m
↓
↑
430.93 m
↓
S 45.127804°
E 35.733032°		 ← 430.97 m →
185 727 m²		 S 45.127804°
E 35.738526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599266052246094 y=0.640769958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599266052246094 × 216)
    floor (0.599266052246094 × 65536)
    floor (39273.5)     		tx = 39273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640769958496094 × 216)
    floor (0.640769958496094 × 65536)
    floor (41993.5)     		ty = 41993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39273 / 41993 ti = "16/39273/41993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39273/41993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39273 ÷ 216
    39273 ÷ 65536     		x = 0.599258422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41993 ÷ 216
    41993 ÷ 65536     		y = 0.640762329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599258422851562 × 2 - 1) × π
    0.198516845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62365906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640762329101562 × 2 - 1) × π
    -0.281524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.884435797990036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62365906} λ = 0.62365906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884435797990036))-π/2
    2×atan(0.412947093145904)-π/2
    2×0.391617598767568-π/2
    0.783235197535137-1.57079632675     		φ = -0.78756113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62365906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.733032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78756113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.123929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39273 KachelY 41993 0.62365906 -0.78756113 35.733032 -45.123929
    Oben rechts KachelX + 1 39274 KachelY 41993 0.62375494 -0.78756113 35.738526 -45.123929
    Unten links KachelX 39273 KachelY + 1 41994 0.62365906 -0.78762877 35.733032 -45.127804
    Unten rechts KachelX + 1 39274 KachelY + 1 41994 0.62375494 -0.78762877 35.738526 -45.127804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78756113--0.78762877) × R
    6.76399999999244e-05 × 6371000     		dl = 430.934439999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78756113--0.78762877) × R
    6.76399999999244e-05 × 6371000     		dr = 430.934439999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62365906-0.62375494) × cos(-0.78756113) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.705575679954763 × 6371000     		do = 431.001948352091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62365906-0.62375494) × cos(-0.78762877) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.705527746298131 × 6371000     		du = 430.972668006995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78756113)-sin(-0.78762877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705575679954763-0.705527746298131)×R²
    abs(0.62375494-0.62365906)×4.79336566314714e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79336566314714e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79336566314714e-05×40589641000000     		ar = 185727.274367808m²