Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39271 / 30793
↖ ↑ ↗
← N 10.784744°
E 35.722046°		 ← 600 m → N 10.784744°
E 35.727539°		 →
↑
600.02 m
↓
↑
600.02 m
↓
N 10.779348°
E 35.722046°		 ← 600.01 m →
360 015 m²		 N 10.779348°
E 35.727539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599235534667969 y=0.469871520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599235534667969 × 216)
    floor (0.599235534667969 × 65536)
    floor (39271.5)     		tx = 39271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469871520996094 × 216)
    floor (0.469871520996094 × 65536)
    floor (30793.5)     		ty = 30793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39271 / 30793 ti = "16/39271/30793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39271/30793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39271 ÷ 216
    39271 ÷ 65536     		x = 0.599227905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30793 ÷ 216
    30793 ÷ 65536     		y = 0.469863891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599227905273438 × 2 - 1) × π
    0.198455810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62346732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469863891601562 × 2 - 1) × π
    0.060272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.189350753499222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62346732} λ = 0.62346732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189350753499222))-π/2
    2×atan(1.20846475139432)-π/2
    2×0.87951281504531-π/2
    1.75902563009062-1.57079632675     		φ = 0.18822930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62346732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.722046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18822930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.784744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39271 KachelY 30793 0.62346732 0.18822930 35.722046 10.784744
    Oben rechts KachelX + 1 39272 KachelY 30793 0.62356319 0.18822930 35.727539 10.784744
    Unten links KachelX 39271 KachelY + 1 30794 0.62346732 0.18813512 35.722046 10.779348
    Unten rechts KachelX + 1 39272 KachelY + 1 30794 0.62356319 0.18813512 35.727539 10.779348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18822930-0.18813512) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dl = 600.020779999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18822930-0.18813512) × R
    9.41799999999993e-05 × 6371000     		dr = 600.020779999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62346732-0.62356319) × cos(0.18822930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982337107910778 × 6371000     		do = 599.99949152906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62346732-0.62356319) × cos(0.18813512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982354726493609 × 6371000     		du = 600.010252743978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18822930)-sin(0.18813512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982337107910778-0.982354726493609)×R²
    abs(0.62356319-0.62346732)×1.76185828312247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76185828312247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76185828312247e-05×40589641000000     		ar = 360015.391649232m²