Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3927 / 1971
↖ ↑ ↗
← N 67.825836°
W  7.426758°		 ← 1 844.28 m → N 67.825836°
W  7.382813°		 →
↑
1 844.91 m
↓
↑
1 844.91 m
↓
N 67.809245°
W  7.426758°		 ← 1 845.59 m →
3 403 740 m²		 N 67.809245°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47943115234375 y=0.24066162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47943115234375 × 213)
    floor (0.47943115234375 × 8192)
    floor (3927.5)     		tx = 3927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24066162109375 × 213)
    floor (0.24066162109375 × 8192)
    floor (1971.5)     		ty = 1971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3927 / 1971 ti = "13/3927/1971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3927/1971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3927 ÷ 213
    3927 ÷ 8192     		x = 0.4793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1971 ÷ 213
    1971 ÷ 8192     		y = 0.2406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2406005859375 × 2 - 1) × π
    0.518798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62985458708191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12962138} λ = -0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62985458708191))-π/2
    2×atan(5.10313260317822)-π/2
    2×1.37729024476238-π/2
    2.75458048952476-1.57079632675     		φ = 1.18378416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18378416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.825836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3927 KachelY 1971 -0.12962138 1.18378416 -7.426758 67.825836
    Oben rechts KachelX + 1 3928 KachelY 1971 -0.12885439 1.18378416 -7.382813 67.825836
    Unten links KachelX 3927 KachelY + 1 1972 -0.12962138 1.18349458 -7.426758 67.809245
    Unten rechts KachelX + 1 3928 KachelY + 1 1972 -0.12885439 1.18349458 -7.382813 67.809245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18378416-1.18349458) × R
    0.000289580000000011 × 6371000     		dl = 1844.91418000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18378416-1.18349458) × R
    0.000289580000000011 × 6371000     		dr = 1844.91418000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12962138--0.12885439) × cos(1.18378416) × R
    0.000766989999999995 × 0.377423248236351 × 6371000     		do = 1844.27616999692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12962138--0.12885439) × cos(1.18349458) × R
    0.000766989999999995 × 0.377691395322837 × 6371000     		du = 1845.58646893577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18378416)-sin(1.18349458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377423248236351-0.377691395322837)×R²
    abs(-0.12885439--0.12962138)×0.000268147086485426×R²
    0.000766989999999995×0.000268147086485426×6371000²
    0.000766989999999995×0.000268147086485426×40589641000000     		ar = 3403739.97619427m²