Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39252 / 30043
↖ ↑ ↗
← N 14.801439°
E 35.617676°		 ← 590.58 m → N 14.801439°
E 35.623169°		 →
↑
590.59 m
↓
↑
590.59 m
↓
N 14.796127°
E 35.617676°		 ← 590.60 m →
348 797 m²		 N 14.796127°
E 35.623169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598945617675781 y=0.458427429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598945617675781 × 216)
    floor (0.598945617675781 × 65536)
    floor (39252.5)     		tx = 39252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458427429199219 × 216)
    floor (0.458427429199219 × 65536)
    floor (30043.5)     		ty = 30043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39252 / 30043 ti = "16/39252/30043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39252/30043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39252 ÷ 216
    39252 ÷ 65536     		x = 0.59893798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30043 ÷ 216
    30043 ÷ 65536     		y = 0.458419799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59893798828125 × 2 - 1) × π
    0.1978759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62164571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458419799804688 × 2 - 1) × π
    0.083160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.261256102929306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62164571} λ = 0.62164571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261256102929306))-π/2
    2×atan(1.29856018791989)-π/2
    2×0.914565081783877-π/2
    1.82913016356775-1.57079632675     		φ = 0.25833384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62164571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.617676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25833384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.801439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39252 KachelY 30043 0.62164571 0.25833384 35.617676 14.801439
    Oben rechts KachelX + 1 39253 KachelY 30043 0.62174159 0.25833384 35.623169 14.801439
    Unten links KachelX 39252 KachelY + 1 30044 0.62164571 0.25824114 35.617676 14.796127
    Unten rechts KachelX + 1 39253 KachelY + 1 30044 0.62174159 0.25824114 35.623169 14.796127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25833384-0.25824114) × R
    9.27000000000011e-05 × 6371000     		dl = 590.591700000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25833384-0.25824114) × R
    9.27000000000011e-05 × 6371000     		dr = 590.591700000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62164571-0.62174159) × cos(0.25833384) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.966816973876616 × 6371000     		do = 590.581579381265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62164571-0.62174159) × cos(0.25824114) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.966840651794801 × 6371000     		du = 590.596043072632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25833384)-sin(0.25824114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966816973876616-0.966840651794801)×R²
    abs(0.62174159-0.62164571)×2.36779181849167e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.36779181849167e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.36779181849167e-05×40589641000000     		ar = 348796.850273321m²