Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39251 / 30037
↖ ↑ ↗
← N 14.833301°
E 35.612183°		 ← 590.43 m → N 14.833301°
E 35.617676°		 →
↑
590.46 m
↓
↑
590.46 m
↓
N 14.827991°
E 35.612183°		 ← 590.45 m →
348 634 m²		 N 14.827991°
E 35.617676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598930358886719 y=0.458335876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598930358886719 × 216)
    floor (0.598930358886719 × 65536)
    floor (39251.5)     		tx = 39251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458335876464844 × 216)
    floor (0.458335876464844 × 65536)
    floor (30037.5)     		ty = 30037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39251 / 30037 ti = "16/39251/30037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39251/30037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39251 ÷ 216
    39251 ÷ 65536     		x = 0.598922729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30037 ÷ 216
    30037 ÷ 65536     		y = 0.458328247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598922729492188 × 2 - 1) × π
    0.197845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62154984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458328247070312 × 2 - 1) × π
    0.083343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.261831345724747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62154984} λ = 0.62154984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261831345724747))-π/2
    2×atan(1.2993073902032)-π/2
    2×0.914843138587408-π/2
    1.82968627717482-1.57079632675     		φ = 0.25888995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62154984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.612183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25888995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.833301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39251 KachelY 30037 0.62154984 0.25888995 35.612183 14.833301
    Oben rechts KachelX + 1 39252 KachelY 30037 0.62164571 0.25888995 35.617676 14.833301
    Unten links KachelX 39251 KachelY + 1 30038 0.62154984 0.25879727 35.612183 14.827991
    Unten rechts KachelX + 1 39252 KachelY + 1 30038 0.62164571 0.25879727 35.617676 14.827991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25888995-0.25879727) × R
    9.26799999999561e-05 × 6371000     		dl = 590.46427999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25888995-0.25879727) × R
    9.26799999999561e-05 × 6371000     		dr = 590.46427999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62154984-0.62164571) × cos(0.25888995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966674754944414 × 6371000     		do = 590.433117887782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62154984-0.62164571) × cos(0.25879727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96669847758195 × 6371000     		du = 590.447607384661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25888995)-sin(0.25879727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966674754944414-0.96669847758195)×R²
    abs(0.62164571-0.62154984)×2.37226375361388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.37226375361388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.37226375361388e-05×40589641000000     		ar = 348633.943856386m²