Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39250 / 30042
↖ ↑ ↗
← N 14.806749°
E 35.606690°		 ← 590.51 m → N 14.806749°
E 35.612183°		 →
↑
590.53 m
↓
↑
590.53 m
↓
N 14.801439°
E 35.606690°		 ← 590.52 m →
348 714 m²		 N 14.801439°
E 35.612183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598915100097656 y=0.458412170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598915100097656 × 216)
    floor (0.598915100097656 × 65536)
    floor (39250.5)     		tx = 39250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458412170410156 × 216)
    floor (0.458412170410156 × 65536)
    floor (30042.5)     		ty = 30042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39250 / 30042 ti = "16/39250/30042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39250/30042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39250 ÷ 216
    39250 ÷ 65536     		x = 0.598907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30042 ÷ 216
    30042 ÷ 65536     		y = 0.458404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598907470703125 × 2 - 1) × π
    0.19781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62145397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458404541015625 × 2 - 1) × π
    0.08319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.261351976728546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62145397} λ = 0.62145397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261351976728546))-π/2
    2×atan(1.29868469178688)-π/2
    2×0.914611427424506-π/2
    1.82922285484901-1.57079632675     		φ = 0.25842653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62145397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.606690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25842653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.806749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39250 KachelY 30042 0.62145397 0.25842653 35.606690 14.806749
    Oben rechts KachelX + 1 39251 KachelY 30042 0.62154984 0.25842653 35.612183 14.806749
    Unten links KachelX 39250 KachelY + 1 30043 0.62145397 0.25833384 35.606690 14.801439
    Unten rechts KachelX + 1 39251 KachelY + 1 30043 0.62154984 0.25833384 35.612183 14.801439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25842653-0.25833384) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dl = 590.527990000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25842653-0.25833384) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dr = 590.527990000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62145397-0.62154984) × cos(0.25842653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966793290205889 × 6371000     		do = 590.505517775805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62145397-0.62154984) × cos(0.25833384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966816973876616 × 6371000     		du = 590.519983472234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25842653)-sin(0.25833384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966793290205889-0.966816973876616)×R²
    abs(0.62154984-0.62145397)×2.36836707271371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.36836707271371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.36836707271371e-05×40589641000000     		ar = 348714.307945095m²