Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39250 / 30040
↖ ↑ ↗
← N 14.817370°
E 35.606690°		 ← 590.48 m → N 14.817370°
E 35.612183°		 →
↑
590.46 m
↓
↑
590.46 m
↓
N 14.812060°
E 35.606690°		 ← 590.49 m →
348 660 m²		 N 14.812060°
E 35.612183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598915100097656 y=0.458381652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598915100097656 × 216)
    floor (0.598915100097656 × 65536)
    floor (39250.5)     		tx = 39250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458381652832031 × 216)
    floor (0.458381652832031 × 65536)
    floor (30040.5)     		ty = 30040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39250 / 30040 ti = "16/39250/30040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39250/30040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39250 ÷ 216
    39250 ÷ 65536     		x = 0.598907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30040 ÷ 216
    30040 ÷ 65536     		y = 0.4583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598907470703125 × 2 - 1) × π
    0.19781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62145397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4583740234375 × 2 - 1) × π
    0.083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.261543724327026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62145397} λ = 0.62145397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261543724327026))-π/2
    2×atan(1.2989337353337)-π/2
    2×0.914704115298827-π/2
    1.82940823059765-1.57079632675     		φ = 0.25861190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62145397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.606690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25861190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.817370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39250 KachelY 30040 0.62145397 0.25861190 35.606690 14.817370
    Oben rechts KachelX + 1 39251 KachelY 30040 0.62154984 0.25861190 35.612183 14.817370
    Unten links KachelX 39250 KachelY + 1 30041 0.62145397 0.25851922 35.606690 14.812060
    Unten rechts KachelX + 1 39251 KachelY + 1 30041 0.62154984 0.25851922 35.612183 14.812060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25861190-0.25851922) × R
    9.26800000000116e-05 × 6371000     		dl = 590.464280000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25861190-0.25851922) × R
    9.26800000000116e-05 × 6371000     		dr = 590.464280000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62145397-0.62154984) × cos(0.25861190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966745900503599 × 6371000     		do = 590.476572725222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62145397-0.62154984) × cos(0.25851922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966769598229019 × 6371000     		du = 590.491047006086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25861190)-sin(0.25851922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966745900503599-0.966769598229019)×R²
    abs(0.62154984-0.62145397)×2.36977254204351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.36977254204351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.36977254204351e-05×40589641000000     		ar = 348659.597893472m²