Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3925 / 4950
↖ ↑ ↗
← S 35.101934°
W  7.514649°		 ← 3 997.79 m → S 35.101934°
W  7.470703°		 →
↑
3 996.91 m
↓
↑
3 996.91 m
↓
S 35.137879°
W  7.514649°		 ← 3 996.02 m →
15 975 278 m²		 S 35.137879°
W  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47918701171875 y=0.60430908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47918701171875 × 213)
    floor (0.47918701171875 × 8192)
    floor (3925.5)     		tx = 3925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60430908203125 × 213)
    floor (0.60430908203125 × 8192)
    floor (4950.5)     		ty = 4950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3925 / 4950 ti = "13/3925/4950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3925/4950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3925 ÷ 213
    3925 ÷ 8192     		x = 0.4791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4950 ÷ 213
    4950 ÷ 8192     		y = 0.604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.20849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.655009796408447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13115536} λ = -0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.655009796408447))-π/2
    2×atan(0.519436973945364)-π/2
    2×0.479076001846669-π/2
    0.958152003693338-1.57079632675     		φ = -0.61264432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61264432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.101934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3925 KachelY 4950 -0.13115536 -0.61264432 -7.514649 -35.101934
    Oben rechts KachelX + 1 3926 KachelY 4950 -0.13038837 -0.61264432 -7.470703 -35.101934
    Unten links KachelX 3925 KachelY + 1 4951 -0.13115536 -0.61327168 -7.514649 -35.137879
    Unten rechts KachelX + 1 3926 KachelY + 1 4951 -0.13038837 -0.61327168 -7.470703 -35.137879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61264432--0.61327168) × R
    0.000627359999999966 × 6371000     		dl = 3996.91055999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61264432--0.61327168) × R
    0.000627359999999966 × 6371000     		dr = 3996.91055999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13115536--0.13038837) × cos(-0.61264432) × R
    0.000766989999999995 × 0.818130309065481 × 6371000     		do = 3997.78826559407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13115536--0.13038837) × cos(-0.61327168) × R
    0.000766989999999995 × 0.817769395470017 × 6371000     		du = 3996.02466373157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61264432)-sin(-0.61327168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818130309065481-0.817769395470017)×R²
    abs(-0.13038837--0.13115536)×0.000360913595463419×R²
    0.000766989999999995×0.000360913595463419×6371000²
    0.000766989999999995×0.000360913595463419×40589641000000     		ar = 15975278.1799074m²