Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3925 / 2425
↖ ↑ ↗
← N 58.972667°
W  7.514649°		 ← 2 518.73 m → N 58.972667°
W  7.470703°		 →
↑
2 519.54 m
↓
↑
2 519.54 m
↓
N 58.950008°
W  7.514649°		 ← 2 520.38 m →
6 348 120 m²		 N 58.950008°
W  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47918701171875 y=0.29608154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47918701171875 × 213)
    floor (0.47918701171875 × 8192)
    floor (3925.5)     		tx = 3925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29608154296875 × 213)
    floor (0.29608154296875 × 8192)
    floor (2425.5)     		ty = 2425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3925 / 2425 ti = "13/3925/2425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3925/2425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3925 ÷ 213
    3925 ÷ 8192     		x = 0.4791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2425 ÷ 213
    2425 ÷ 8192     		y = 0.2960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2960205078125 × 2 - 1) × π
    0.407958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28164094824182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13115536} λ = -0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28164094824182))-π/2
    2×atan(3.60254647020911)-π/2
    2×1.30003176865239-π/2
    2.60006353730478-1.57079632675     		φ = 1.02926721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02926721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.972667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3925 KachelY 2425 -0.13115536 1.02926721 -7.514649 58.972667
    Oben rechts KachelX + 1 3926 KachelY 2425 -0.13038837 1.02926721 -7.470703 58.972667
    Unten links KachelX 3925 KachelY + 1 2426 -0.13115536 1.02887174 -7.514649 58.950008
    Unten rechts KachelX + 1 3926 KachelY + 1 2426 -0.13038837 1.02887174 -7.470703 58.950008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02926721-1.02887174) × R
    0.000395469999999953 × 6371000     		dl = 2519.5393699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02926721-1.02887174) × R
    0.000395469999999953 × 6371000     		dr = 2519.5393699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13115536--0.13038837) × cos(1.02926721) × R
    0.000766989999999995 × 0.515446926816009 × 6371000     		do = 2518.72794923753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13115536--0.13038837) × cos(1.02887174) × R
    0.000766989999999995 × 0.515785773247683 × 6371000     		du = 2520.38372005225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02926721)-sin(1.02887174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515446926816009-0.515785773247683)×R²
    abs(-0.13038837--0.13115536)×0.000338846431674256×R²
    0.000766989999999995×0.000338846431674256×6371000²
    0.000766989999999995×0.000338846431674256×40589641000000     		ar = 6348120.20303618m²