Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3925 / 1946
↖ ↑ ↗
← N 68.236823°
W  7.514649°		 ← 1 811.77 m → N 68.236823°
W  7.470703°		 →
↑
1 812.42 m
↓
↑
1 812.42 m
↓
N 68.220523°
W  7.514649°		 ← 1 813.06 m →
3 284 862 m²		 N 68.220523°
W  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47918701171875 y=0.23760986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47918701171875 × 213)
    floor (0.47918701171875 × 8192)
    floor (3925.5)     		tx = 3925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23760986328125 × 213)
    floor (0.23760986328125 × 8192)
    floor (1946.5)     		ty = 1946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3925 / 1946 ti = "13/3925/1946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3925/1946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3925 ÷ 213
    3925 ÷ 8192     		x = 0.4791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1946 ÷ 213
    1946 ÷ 8192     		y = 0.237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237548828125 × 2 - 1) × π
    0.52490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13115536} λ = -0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64902934692993))-π/2
    2×atan(5.20192810835464)-π/2
    2×1.38087677707772-π/2
    2.76175355415544-1.57079632675     		φ = 1.19095723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19095723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.236823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3925 KachelY 1946 -0.13115536 1.19095723 -7.514649 68.236823
    Oben rechts KachelX + 1 3926 KachelY 1946 -0.13038837 1.19095723 -7.470703 68.236823
    Unten links KachelX 3925 KachelY + 1 1947 -0.13115536 1.19067275 -7.514649 68.220523
    Unten rechts KachelX + 1 3926 KachelY + 1 1947 -0.13038837 1.19067275 -7.470703 68.220523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19095723-1.19067275) × R
    0.00028447999999992 × 6371000     		dl = 1812.42207999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19095723-1.19067275) × R
    0.00028447999999992 × 6371000     		dr = 1812.42207999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13115536--0.13038837) × cos(1.19095723) × R
    0.000766989999999995 × 0.370771039495761 × 6371000     		do = 1811.77019662235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13115536--0.13038837) × cos(1.19067275) × R
    0.000766989999999995 × 0.371035227979684 × 6371000     		du = 1813.06115187634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19095723)-sin(1.19067275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370771039495761-0.371035227979684)×R²
    abs(-0.13038837--0.13115536)×0.000264188483923122×R²
    0.000766989999999995×0.000264188483923122×6371000²
    0.000766989999999995×0.000264188483923122×40589641000000     		ar = 3284862.20829986m²