Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39248 / 30036
↖ ↑ ↗
← N 14.838612°
E 35.595703°		 ← 590.42 m → N 14.838612°
E 35.601196°		 →
↑
590.46 m
↓
↑
590.46 m
↓
N 14.833301°
E 35.595703°		 ← 590.43 m →
348 625 m²		 N 14.833301°
E 35.601196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598884582519531 y=0.458320617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598884582519531 × 216)
    floor (0.598884582519531 × 65536)
    floor (39248.5)     		tx = 39248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458320617675781 × 216)
    floor (0.458320617675781 × 65536)
    floor (30036.5)     		ty = 30036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39248 / 30036 ti = "16/39248/30036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39248/30036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39248 ÷ 216
    39248 ÷ 65536     		x = 0.598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30036 ÷ 216
    30036 ÷ 65536     		y = 0.45831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598876953125 × 2 - 1) × π
    0.19775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62126222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45831298828125 × 2 - 1) × π
    0.0833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.261927219523987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62126222} λ = 0.62126222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261927219523987))-π/2
    2×atan(1.29943196571074)-π/2
    2×0.914889477409348-π/2
    1.8297789548187-1.57079632675     		φ = 0.25898263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62126222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.595703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25898263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.838612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39248 KachelY 30036 0.62126222 0.25898263 35.595703 14.838612
    Oben rechts KachelX + 1 39249 KachelY 30036 0.62135809 0.25898263 35.601196 14.838612
    Unten links KachelX 39248 KachelY + 1 30037 0.62126222 0.25888995 35.595703 14.833301
    Unten rechts KachelX + 1 39249 KachelY + 1 30037 0.62135809 0.25888995 35.601196 14.833301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25898263-0.25888995) × R
    9.26800000000116e-05 × 6371000     		dl = 590.464280000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25898263-0.25888995) × R
    9.26800000000116e-05 × 6371000     		dr = 590.464280000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62126222-0.62135809) × cos(0.25898263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966651024003545 × 6371000     		do = 590.418623319329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62126222-0.62135809) × cos(0.25888995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966674754944414 × 6371000     		du = 590.433117887782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25898263)-sin(0.25888995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966651024003545-0.966674754944414)×R²
    abs(0.62135809-0.62126222)×2.37309408686048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.37309408686048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.37309408686048e-05×40589641000000     		ar = 348625.386828778m²