Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39247 / 30044
↖ ↑ ↗
← N 14.796127°
E 35.590210°		 ← 590.53 m → N 14.796127°
E 35.595703°		 →
↑
590.53 m
↓
↑
590.53 m
↓
N 14.790817°
E 35.590210°		 ← 590.55 m →
348 731 m²		 N 14.790817°
E 35.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598869323730469 y=0.458442687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598869323730469 × 216)
    floor (0.598869323730469 × 65536)
    floor (39247.5)     		tx = 39247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458442687988281 × 216)
    floor (0.458442687988281 × 65536)
    floor (30044.5)     		ty = 30044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39247 / 30044 ti = "16/39247/30044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39247/30044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39247 ÷ 216
    39247 ÷ 65536     		x = 0.598861694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30044 ÷ 216
    30044 ÷ 65536     		y = 0.45843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598861694335938 × 2 - 1) × π
    0.197723388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62116635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45843505859375 × 2 - 1) × π
    0.0831298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.261160229130066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62116635} λ = 0.62116635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261160229130066))-π/2
    2×atan(1.29843569598898)-π/2
    2×0.914518735008095-π/2
    1.82903747001619-1.57079632675     		φ = 0.25824114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62116635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.590210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25824114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.796127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39247 KachelY 30044 0.62116635 0.25824114 35.590210 14.796127
    Oben rechts KachelX + 1 39248 KachelY 30044 0.62126222 0.25824114 35.595703 14.796127
    Unten links KachelX 39247 KachelY + 1 30045 0.62116635 0.25814845 35.590210 14.790817
    Unten rechts KachelX + 1 39248 KachelY + 1 30045 0.62126222 0.25814845 35.595703 14.790817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25824114-0.25814845) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dl = 590.527990000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25824114-0.25814845) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dr = 590.527990000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62116635-0.62126222) × cos(0.25824114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966840651794801 × 6371000     		do = 590.53444565508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62116635-0.62126222) × cos(0.25814845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966864318851736 × 6371000     		du = 590.548901204008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25824114)-sin(0.25814845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966840651794801-0.966864318851736)×R²
    abs(0.62126222-0.62116635)×2.36670569351283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.36670569351283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.36670569351283e-05×40589641000000     		ar = 348731.387671227m²