Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39245 / 30045
↖ ↑ ↗
← N 14.790817°
E 35.579224°		 ← 590.55 m → N 14.790817°
E 35.584717°		 →
↑
590.59 m
↓
↑
590.59 m
↓
N 14.785505°
E 35.579224°		 ← 590.56 m →
348 778 m²		 N 14.785505°
E 35.584717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598838806152344 y=0.458457946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598838806152344 × 216)
    floor (0.598838806152344 × 65536)
    floor (39245.5)     		tx = 39245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458457946777344 × 216)
    floor (0.458457946777344 × 65536)
    floor (30045.5)     		ty = 30045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39245 / 30045 ti = "16/39245/30045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39245/30045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39245 ÷ 216
    39245 ÷ 65536     		x = 0.598831176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30045 ÷ 216
    30045 ÷ 65536     		y = 0.458450317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598831176757812 × 2 - 1) × π
    0.197662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62097460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458450317382812 × 2 - 1) × π
    0.083099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.261064355330826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62097460} λ = 0.62097460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261064355330826))-π/2
    2×atan(1.29831121599302)-π/2
    2×0.914472387097532-π/2
    1.82894477419506-1.57079632675     		φ = 0.25814845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62097460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.579224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25814845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.790817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39245 KachelY 30045 0.62097460 0.25814845 35.579224 14.790817
    Oben rechts KachelX + 1 39246 KachelY 30045 0.62107047 0.25814845 35.584717 14.790817
    Unten links KachelX 39245 KachelY + 1 30046 0.62097460 0.25805575 35.579224 14.785505
    Unten rechts KachelX + 1 39246 KachelY + 1 30046 0.62107047 0.25805575 35.584717 14.785505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25814845-0.25805575) × R
    9.27000000000011e-05 × 6371000     		dl = 590.591700000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25814845-0.25805575) × R
    9.27000000000011e-05 × 6371000     		dr = 590.591700000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62097460-0.62107047) × cos(0.25814845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966864318851736 × 6371000     		do = 590.548901204008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62097460-0.62107047) × cos(0.25805575) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96688798015393 × 6371000     		du = 590.56335323801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25814845)-sin(0.25805575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966864318851736-0.96688798015393)×R²
    abs(0.62107047-0.62097460)×2.36613021936671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.36613021936671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.36613021936671e-05×40589641000000     		ar = 348777.547370666m²