Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3924 / 1945
↖ ↑ ↗
← N 68.253110°
W  7.558594°		 ← 1 810.48 m → N 68.253110°
W  7.514649°		 →
↑
1 811.08 m
↓
↑
1 811.08 m
↓
N 68.236823°
W  7.558594°		 ← 1 811.77 m →
3 280 100 m²		 N 68.236823°
W  7.514649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47906494140625 y=0.23748779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47906494140625 × 213)
    floor (0.47906494140625 × 8192)
    floor (3924.5)     		tx = 3924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23748779296875 × 213)
    floor (0.23748779296875 × 8192)
    floor (1945.5)     		ty = 1945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3924 / 1945 ti = "13/3924/1945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3924/1945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3924 ÷ 213
    3924 ÷ 8192     		x = 0.47900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1945 ÷ 213
    1945 ÷ 8192     		y = 0.2374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2374267578125 × 2 - 1) × π
    0.525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64979633732385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13192235} λ = -0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64979633732385))-π/2
    2×atan(5.20591946771509)-π/2
    2×1.3810189153594-π/2
    2.76203783071879-1.57079632675     		φ = 1.19124150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19124150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.253110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3924 KachelY 1945 -0.13192235 1.19124150 -7.558594 68.253110
    Oben rechts KachelX + 1 3925 KachelY 1945 -0.13115536 1.19124150 -7.514649 68.253110
    Unten links KachelX 3924 KachelY + 1 1946 -0.13192235 1.19095723 -7.558594 68.236823
    Unten rechts KachelX + 1 3925 KachelY + 1 1946 -0.13115536 1.19095723 -7.514649 68.236823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19124150-1.19095723) × R
    0.000284270000000086 × 6371000     		dl = 1811.08417000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19124150-1.19095723) × R
    0.000284270000000086 × 6371000     		dr = 1811.08417000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13192235--0.13115536) × cos(1.19124150) × R
    0.000766989999999995 × 0.370507016059995 × 6371000     		do = 1810.48004787508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13192235--0.13115536) × cos(1.19095723) × R
    0.000766989999999995 × 0.370771039495761 × 6371000     		du = 1811.77019662235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19124150)-sin(1.19095723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370507016059995-0.370771039495761)×R²
    abs(-0.13115536--0.13192235)×0.000264023435766092×R²
    0.000766989999999995×0.000264023435766092×6371000²
    0.000766989999999995×0.000264023435766092×40589641000000     		ar = 3280100.06088551m²