Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39235 / 42316
↖ ↑ ↗
← S 46.362093°
E 35.524292°		 ← 421.50 m → S 46.362093°
E 35.529785°		 →
↑
421.51 m
↓
↑
421.51 m
↓
S 46.365884°
E 35.524292°		 ← 421.47 m →
177 660 m²		 S 46.365884°
E 35.529785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598686218261719 y=0.645698547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598686218261719 × 216)
    floor (0.598686218261719 × 65536)
    floor (39235.5)     		tx = 39235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645698547363281 × 216)
    floor (0.645698547363281 × 65536)
    floor (42316.5)     		ty = 42316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39235 / 42316 ti = "16/39235/42316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39235/42316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39235 ÷ 216
    39235 ÷ 65536     		x = 0.598678588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42316 ÷ 216
    42316 ÷ 65536     		y = 0.64569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598678588867188 × 2 - 1) × π
    0.197357177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62001586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2913818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915403035144592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62001586} λ = 0.62001586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915403035144592))-π/2
    2×atan(0.400355236339566)-π/2
    2×0.380812577818414-π/2
    0.761625155636828-1.57079632675     		φ = -0.80917117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62001586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.524292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80917117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.362093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39235 KachelY 42316 0.62001586 -0.80917117 35.524292 -46.362093
    Oben rechts KachelX + 1 39236 KachelY 42316 0.62011173 -0.80917117 35.529785 -46.362093
    Unten links KachelX 39235 KachelY + 1 42317 0.62001586 -0.80923733 35.524292 -46.365884
    Unten rechts KachelX + 1 39236 KachelY + 1 42317 0.62011173 -0.80923733 35.529785 -46.365884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80917117--0.80923733) × R
    6.61599999999263e-05 × 6371000     		dl = 421.50535999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80917117--0.80923733) × R
    6.61599999999263e-05 × 6371000     		dr = 421.50535999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62001586-0.62011173) × cos(-0.80917117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690098506993127 × 6371000     		do = 421.503728166652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62001586-0.62011173) × cos(-0.80923733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690050624468747 × 6371000     		du = 421.474482106364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80917117)-sin(-0.80923733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690098506993127-0.690050624468747)×R²
    abs(0.62011173-0.62001586)×4.78825243799275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78825243799275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78825243799275e-05×40589641000000     		ar = 177659.917061309m²