Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39232 / 42315
↖ ↑ ↗
← S 46.358302°
E 35.507813°		 ← 421.53 m → S 46.358302°
E 35.513306°		 →
↑
421.51 m
↓
↑
421.51 m
↓
S 46.362093°
E 35.507813°		 ← 421.50 m →
177 672 m²		 S 46.362093°
E 35.513306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598640441894531 y=0.645683288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598640441894531 × 216)
    floor (0.598640441894531 × 65536)
    floor (39232.5)     		tx = 39232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645683288574219 × 216)
    floor (0.645683288574219 × 65536)
    floor (42315.5)     		ty = 42315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39232 / 42315 ti = "16/39232/42315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39232/42315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39232 ÷ 216
    39232 ÷ 65536     		x = 0.5986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42315 ÷ 216
    42315 ÷ 65536     		y = 0.645675659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5986328125 × 2 - 1) × π
    0.197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61972824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645675659179688 × 2 - 1) × π
    -0.291351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915307161345352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61972824} λ = 0.61972824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915307161345352))-π/2
    2×atan(0.400393621757168)-π/2
    2×0.380845660148908-π/2
    0.761691320297817-1.57079632675     		φ = -0.80910501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61972824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.507813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80910501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.358302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39232 KachelY 42315 0.61972824 -0.80910501 35.507813 -46.358302
    Oben rechts KachelX + 1 39233 KachelY 42315 0.61982411 -0.80910501 35.513306 -46.358302
    Unten links KachelX 39232 KachelY + 1 42316 0.61972824 -0.80917117 35.507813 -46.362093
    Unten rechts KachelX + 1 39233 KachelY + 1 42316 0.61982411 -0.80917117 35.513306 -46.362093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80910501--0.80917117) × R
    6.61600000000373e-05 × 6371000     		dl = 421.505360000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80910501--0.80917117) × R
    6.61600000000373e-05 × 6371000     		dr = 421.505360000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61972824-0.61982411) × cos(-0.80910501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690146386496845 × 6371000     		do = 421.532972381957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61972824-0.61982411) × cos(-0.80917117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690098506993127 × 6371000     		du = 421.503728166652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80910501)-sin(-0.80917117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690146386496845-0.690098506993127)×R²
    abs(0.61982411-0.61972824)×4.78795037183177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78795037183177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78795037183177e-05×40589641000000     		ar = 177672.244043704m²