Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3923 / 4949
↖ ↑ ↗
← S 35.065973°
W  7.602539°		 ← 3 999.55 m → S 35.065973°
W  7.558594°		 →
↑
3 998.63 m
↓
↑
3 998.63 m
↓
S 35.101934°
W  7.602539°		 ← 3 997.79 m →
15 989 204 m²		 S 35.101934°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47894287109375 y=0.60418701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47894287109375 × 213)
    floor (0.47894287109375 × 8192)
    floor (3923.5)     		tx = 3923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60418701171875 × 213)
    floor (0.60418701171875 × 8192)
    floor (4949.5)     		ty = 4949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3923 / 4949 ti = "13/3923/4949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3923/4949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3923 ÷ 213
    3923 ÷ 8192     		x = 0.4788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4949 ÷ 213
    4949 ÷ 8192     		y = 0.6041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.654242806014526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13268934} λ = -0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.654242806014526))-π/2
    2×atan(0.519835529939398)-π/2
    2×0.479389820068245-π/2
    0.95877964013649-1.57079632675     		φ = -0.61201669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61201669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.065973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3923 KachelY 4949 -0.13268934 -0.61201669 -7.602539 -35.065973
    Oben rechts KachelX + 1 3924 KachelY 4949 -0.13192235 -0.61201669 -7.558594 -35.065973
    Unten links KachelX 3923 KachelY + 1 4950 -0.13268934 -0.61264432 -7.602539 -35.101934
    Unten rechts KachelX + 1 3924 KachelY + 1 4950 -0.13192235 -0.61264432 -7.558594 -35.101934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61201669--0.61264432) × R
    0.00062762999999999 × 6371000     		dl = 3998.63072999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61201669--0.61264432) × R
    0.00062762999999999 × 6371000     		dr = 3998.63072999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13268934--0.13192235) × cos(-0.61201669) × R
    0.000766989999999995 × 0.818491055780994 × 6371000     		do = 3999.55105199882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13268934--0.13192235) × cos(-0.61264432) × R
    0.000766989999999995 × 0.818130309065481 × 6371000     		du = 3997.78826559407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61201669)-sin(-0.61264432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818491055780994-0.818130309065481)×R²
    abs(-0.13192235--0.13268934)×0.000360746715513782×R²
    0.000766989999999995×0.000360746715513782×6371000²
    0.000766989999999995×0.000360746715513782×40589641000000     		ar = 15989203.9016521m²