Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3923 / 4809
↖ ↑ ↗
← S 29.878756°
W  7.602539°		 ← 4 236.99 m → S 29.878756°
W  7.558594°		 →
↑
4 236.14 m
↓
↑
4 236.14 m
↓
S 29.916852°
W  7.602539°		 ← 4 235.37 m →
17 945 052 m²		 S 29.916852°
W  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47894287109375 y=0.58709716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47894287109375 × 213)
    floor (0.47894287109375 × 8192)
    floor (3923.5)     		tx = 3923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58709716796875 × 213)
    floor (0.58709716796875 × 8192)
    floor (4809.5)     		ty = 4809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3923 / 4809 ti = "13/3923/4809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3923/4809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3923 ÷ 213
    3923 ÷ 8192     		x = 0.4788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4809 ÷ 213
    4809 ÷ 8192     		y = 0.5870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.546864150865601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13268934} λ = -0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.546864150865601))-π/2
    2×atan(0.578761877643819)-π/2
    2×0.524656834811115-π/2
    1.04931366962223-1.57079632675     		φ = -0.52148266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52148266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.878756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3923 KachelY 4809 -0.13268934 -0.52148266 -7.602539 -29.878756
    Oben rechts KachelX + 1 3924 KachelY 4809 -0.13192235 -0.52148266 -7.558594 -29.878756
    Unten links KachelX 3923 KachelY + 1 4810 -0.13268934 -0.52214757 -7.602539 -29.916852
    Unten rechts KachelX + 1 3924 KachelY + 1 4810 -0.13192235 -0.52214757 -7.558594 -29.916852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52148266--0.52214757) × R
    0.000664910000000019 × 6371000     		dl = 4236.14161000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52148266--0.52214757) × R
    0.000664910000000019 × 6371000     		dr = 4236.14161000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13268934--0.13192235) × cos(-0.52148266) × R
    0.000766989999999995 × 0.867081521787497 × 6371000     		do = 4236.98803809757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13268934--0.13192235) × cos(-0.52214757) × R
    0.000766989999999995 × 0.866750094405313 × 6371000     		du = 4235.3685204184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52148266)-sin(-0.52214757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867081521787497-0.866750094405313)×R²
    abs(-0.13192235--0.13268934)×0.000331427382184168×R²
    0.000766989999999995×0.000331427382184168×6371000²
    0.000766989999999995×0.000331427382184168×40589641000000     		ar = 17945051.7372758m²