Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39229 / 42301
↖ ↑ ↗
← S 46.305201°
E 35.491333°		 ← 421.94 m → S 46.305201°
E 35.496826°		 →
↑
421.95 m
↓
↑
421.95 m
↓
S 46.308996°
E 35.491333°		 ← 421.91 m →
178 033 m²		 S 46.308996°
E 35.496826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598594665527344 y=0.645469665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598594665527344 × 216)
    floor (0.598594665527344 × 65536)
    floor (39229.5)     		tx = 39229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645469665527344 × 216)
    floor (0.645469665527344 × 65536)
    floor (42301.5)     		ty = 42301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39229 / 42301 ti = "16/39229/42301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39229/42301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39229 ÷ 216
    39229 ÷ 65536     		x = 0.598587036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42301 ÷ 216
    42301 ÷ 65536     		y = 0.645462036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598587036132812 × 2 - 1) × π
    0.197174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61944062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645462036132812 × 2 - 1) × π
    -0.290924072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.913964928155991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61944062} λ = 0.61944062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.913964928155991))-π/2
    2×atan(0.400931404199082)-π/2
    2×0.381309053795535-π/2
    0.76261810759107-1.57079632675     		φ = -0.80817822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61944062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.491333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80817822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.305201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39229 KachelY 42301 0.61944062 -0.80817822 35.491333 -46.305201
    Oben rechts KachelX + 1 39230 KachelY 42301 0.61953649 -0.80817822 35.496826 -46.305201
    Unten links KachelX 39229 KachelY + 1 42302 0.61944062 -0.80824445 35.491333 -46.308996
    Unten rechts KachelX + 1 39230 KachelY + 1 42302 0.61953649 -0.80824445 35.496826 -46.308996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80817822--0.80824445) × R
    6.6230000000056e-05 × 6371000     		dl = 421.951330000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80817822--0.80824445) × R
    6.6230000000056e-05 × 6371000     		dr = 421.951330000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61944062-0.61953649) × cos(-0.80817822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690816779928619 × 6371000     		do = 421.942440491172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61944062-0.61953649) × cos(-0.80824445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.690768892146008 × 6371000     		du = 421.913191219222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80817822)-sin(-0.80824445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690816779928619-0.690768892146008)×R²
    abs(0.61953649-0.61944062)×4.78877826104451e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78877826104451e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78877826104451e-05×40589641000000     		ar = 178033.003129382m²