Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39222 / 29998
↖ ↑ ↗
← N 15.040296°
E 35.452881°		 ← 589.86 m → N 15.040296°
E 35.458374°		 →
↑
589.95 m
↓
↑
589.95 m
↓
N 15.034991°
E 35.452881°		 ← 589.88 m →
347 998 m²		 N 15.034991°
E 35.458374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598487854003906 y=0.457740783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598487854003906 × 216)
    floor (0.598487854003906 × 65536)
    floor (39222.5)     		tx = 39222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457740783691406 × 216)
    floor (0.457740783691406 × 65536)
    floor (29998.5)     		ty = 29998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39222 / 29998 ti = "16/39222/29998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39222/29998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39222 ÷ 216
    39222 ÷ 65536     		x = 0.598480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29998 ÷ 216
    29998 ÷ 65536     		y = 0.457733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598480224609375 × 2 - 1) × π
    0.19696044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61876950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457733154296875 × 2 - 1) × π
    0.08453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265570423895111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61876950} λ = 0.61876950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265570423895111))-π/2
    2×atan(1.30417469605032)-π/2
    2×0.916649506197075-π/2
    1.83329901239415-1.57079632675     		φ = 0.26250269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61876950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.452881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26250269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.040296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39222 KachelY 29998 0.61876950 0.26250269 35.452881 15.040296
    Oben rechts KachelX + 1 39223 KachelY 29998 0.61886537 0.26250269 35.458374 15.040296
    Unten links KachelX 39222 KachelY + 1 29999 0.61876950 0.26241009 35.452881 15.034991
    Unten rechts KachelX + 1 39223 KachelY + 1 29999 0.61886537 0.26241009 35.458374 15.034991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26250269-0.26241009) × R
    9.25999999999982e-05 × 6371000     		dl = 589.954599999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26250269-0.26241009) × R
    9.25999999999982e-05 × 6371000     		dr = 589.954599999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61876950-0.61886537) × cos(0.26250269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965743559410171 × 6371000     		do = 589.864355043988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61876950-0.61886537) × cos(0.26241009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965767584813948 × 6371000     		du = 589.879029466784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26250269)-sin(0.26241009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965743559410171-0.965767584813948)×R²
    abs(0.61886537-0.61876950)×2.40254037765508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.40254037765508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.40254037765508e-05×40589641000000     		ar = 347997.518504485m²