Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39221 / 30059
↖ ↑ ↗
← N 14.716448°
E 35.447388°		 ← 590.75 m → N 14.716448°
E 35.452881°		 →
↑
590.78 m
↓
↑
590.78 m
↓
N 14.711135°
E 35.447388°		 ← 590.77 m →
349 010 m²		 N 14.711135°
E 35.452881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598472595214844 y=0.458671569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598472595214844 × 216)
    floor (0.598472595214844 × 65536)
    floor (39221.5)     		tx = 39221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458671569824219 × 216)
    floor (0.458671569824219 × 65536)
    floor (30059.5)     		ty = 30059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39221 / 30059 ti = "16/39221/30059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39221/30059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39221 ÷ 216
    39221 ÷ 65536     		x = 0.598464965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30059 ÷ 216
    30059 ÷ 65536     		y = 0.458663940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598464965820312 × 2 - 1) × π
    0.196929931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61867363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458663940429688 × 2 - 1) × π
    0.082672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.259722122141464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61867363} λ = 0.61867363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259722122141464))-π/2
    2×atan(1.29656974857793)-π/2
    2×0.913823397405104-π/2
    1.82764679481021-1.57079632675     		φ = 0.25685047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61867363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.447388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25685047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.716448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39221 KachelY 30059 0.61867363 0.25685047 35.447388 14.716448
    Oben rechts KachelX + 1 39222 KachelY 30059 0.61876950 0.25685047 35.452881 14.716448
    Unten links KachelX 39221 KachelY + 1 30060 0.61867363 0.25675774 35.447388 14.711135
    Unten rechts KachelX + 1 39222 KachelY + 1 30060 0.61876950 0.25675774 35.452881 14.711135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25685047-0.25675774) × R
    9.27299999999853e-05 × 6371000     		dl = 590.782829999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25685047-0.25675774) × R
    9.27299999999853e-05 × 6371000     		dr = 590.782829999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61867363-0.61876950) × cos(0.25685047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967194866638818 × 6371000     		do = 590.750795749758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61867363-0.61876950) × cos(0.25675774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.967218419202297 × 6371000     		du = 590.765181367483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25685047)-sin(0.25675774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967194866638818-0.967218419202297)×R²
    abs(0.61876950-0.61867363)×2.355256347919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.355256347919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.355256347919e-05×40589641000000     		ar = 349009.676575693m²