Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3922 / 2427
↖ ↑ ↗
← N 58.927335°
W  7.646484°		 ← 2 522.04 m → N 58.927335°
W  7.602539°		 →
↑
2 522.92 m
↓
↑
2 522.92 m
↓
N 58.904646°
W  7.646484°		 ← 2 523.70 m →
6 364 986 m²		 N 58.904646°
W  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47882080078125 y=0.29632568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47882080078125 × 213)
    floor (0.47882080078125 × 8192)
    floor (3922.5)     		tx = 3922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29632568359375 × 213)
    floor (0.29632568359375 × 8192)
    floor (2427.5)     		ty = 2427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3922 / 2427 ti = "13/3922/2427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3922/2427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3922 ÷ 213
    3922 ÷ 8192     		x = 0.478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2427 ÷ 213
    2427 ÷ 8192     		y = 0.2962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.04248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13345633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2962646484375 × 2 - 1) × π
    0.407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28010696745398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13345633} λ = -0.13345633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28010696745398))-π/2
    2×atan(3.59702446954078)-π/2
    2×1.29963616589935-π/2
    2.5992723317987-1.57079632675     		φ = 1.02847601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13345633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.646484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02847601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.927335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3922 KachelY 2427 -0.13345633 1.02847601 -7.646484 58.927335
    Oben rechts KachelX + 1 3923 KachelY 2427 -0.13268934 1.02847601 -7.602539 58.927335
    Unten links KachelX 3922 KachelY + 1 2428 -0.13345633 1.02808001 -7.646484 58.904646
    Unten rechts KachelX + 1 3923 KachelY + 1 2428 -0.13268934 1.02808001 -7.602539 58.904646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02847601-1.02808001) × R
    0.000396000000000063 × 6371000     		dl = 2522.9160000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02847601-1.02808001) × R
    0.000396000000000063 × 6371000     		dr = 2522.9160000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13345633--0.13268934) × cos(1.02847601) × R
    0.000766990000000023 × 0.516124761705763 × 6371000     		do = 2522.04018487814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13345633--0.13268934) × cos(1.02808001) × R
    0.000766990000000023 × 0.516463900540993 × 6371000     		du = 2523.69738452087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02847601)-sin(1.02808001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516124761705763-0.516463900540993)×R²
    abs(-0.13268934--0.13345633)×0.000339138835230068×R²
    0.000766990000000023×0.000339138835230068×6371000²
    0.000766990000000023×0.000339138835230068×40589641000000     		ar = 6364986.10599719m²